Prendre des initiatives - Le second degré (suite)

Re-bonjour,
Voici la suite de l'exercice que je dois rendre, mon problème est toujours au niveau de la rédaction, & je voudrais des conseils s'il-vous-plait.

Voici l'énoncé :

B. ABC est un triangle rectangle en A, AB = 1 et AC = 2.
P est un point de [AC], Q un point de [AB] et M un point de [BC] tels que APMQ soit un rectangle.
Comment choisir M pour que l'aire de APMQ soit maximum?

D'après Pythagore, on a :
BC² = AB² + AC²
BC = √5

Soit AP = x
Utilisons le théorème de Thalès :
MP/AB = AP/AC
MP = (2-x)/2

Aire d'un rectangle = L* l
Aire de APMQ = AP * MP
= (2x-x²)/2

f(x) = -x²/2 + 2x/2 (je ne suis pas sûre de pouvoir l'appeler f(x) )
Après décomposition canonique :
= (-1/2(x-1)²) + 1/2

Là, j'ai fait une composée de fonction :
x→x-1→(x-1)²→ -1/2(x-1)²→ (-1/2(x-1)²)+1/2

La fonction f est définie sur l'intervalle [0;2]
(J'ai fait un tableau de variation pour chaque composée de fonction)
& je trouve au final :
La fonction f est croissante sur [0;1] avec f(0)=0 & f(1)=1/2 ; la fonction f est décroissante sur [1;2] avec f(2)=0.

Sur l'intervalle [0;2], la fonction f a un maximum atteint pour x=1, & ce maximum est 1/2.
Nous pouvons en conclure que le point M doit être situé à 1/2 de [BC] pour que l'aire de APMQ soit maximum.

(Je ne suis pas sûre sur cette dernière partie)

Re-Bonjour,

Une erreur au niveau de Thalès :
MP/AB = PC/AC

D'accord, mon résultat reste inchangé
MP/AB = PC/AC
MP/1 = (2-x)/2
MP = (2-x)/2

L'ensemble est correct.

Merci encore !