Suite ( de Fibonacci)

Bonjour
J' ai besoin d' aide pour ce DM, je suis bloqué ! Aidez moi s' il vous plait !
J' en suis au 3).
Intitulé:

Les règles de reproduction chez les abeilles sont telles que l' abeille femelle a un père et une mère tandis que l' abeille mâle n' a qu' une mère. Soit Un le nombre d' ancêtres d' une abeille mâle à la génération : ainsi U1=1 , U2=2 et U3=3 .
Soit Fn le nombre d' ancêtres femelles et Mn le nombre d' ancêtre mâle à la génération n de cette abeille mâle. Alors Un= Fn+Mn

a/ Montrer que Un= F(n+1) et que M(n+1)= Fn
b/En déduire U(n+1)= Un + Fn = Un + U(n-1)
Une suite telle que (Un) est dite suite de Fibonacci.
On considère la suite de Fibonacci telle que: U0= U1= 1 et U(n+2)= U(n+1) + Un pour tout n∈ℕ
a/ Montrer que pour tout n∈ℕ ,Un≥n . En déduire la limite de la suite (Un) .
b/Établir par récurrence que, quel que soit le naturel n, (Un)²= U(n-1)X U(n+1)+(-1)^n

Je suis bloqué à partir d' ici:
3) On pose Vn= (U(n+1))/Un
a/ Montrer que V(n+1)-Vn= ((-1)^n)/((Un)X(U(n+1))) ; en déduire la limite de V(n+1)-Vn lorsque n tend vers + l' infini .
b/ On pose Wn= V(2n-1) et Tn= V(2n)
Étudier le sens de variation de chacune des suites (Wn) et (Tn)
c/ Montrer que les suites (Wn) et (Tn) sont adjacentes. En déduire que la suite (Vn) converge vers une limite L.
d/ Montrer que quand n tend vers plus l' infini , lim ((Vn)² -Vn- 1) = 0
e/ En utilisant la continuité de la fonction x↦ x² - x -1 , montrer que L²-L-1=0
En déduire que (Vn) converge vers le nombre d' or .

Voila! Je me suis casser la tête dans tout les sens et je n' y arrive vraiment pas! Je vous remercie d' avance!

C' est un exercice du livre de Bordas, collection Indice, édition 2006; ex°108 page 163.
Aidez moi ce serez gentil !
merci.

Bonjour,

Question 3) a), tu utilises la relation de 2) b).
Indique tes calculs.

Ce que j' ai fait pour l' instant:
V(n+1)-Vn = [U(n+2)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[(U(n+1)+Un)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[U(n+1)+Un-U(n+1)] / U(n+1)Un
=Un / U(n+1)Un
=(Un)² / (U(n+1)Un)²
=[U(n-1)U(n+1)+(-1)^n] / (U(n+1)Un)²

Voila donc après je n' y arrive plus.
Dites moi si ce que j' ai fais est bon et aidez moi à finir ou sinon ( si c'est faux) corrigez moi, je vous en serez très reconnaissant!
Merci d' avance!

A partir de :
V(n+1)-Vn = [U(n+2)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
réduis au même dénominateur,
puis utilise la relation du 2)b/

V(n+1)-Vn = [U(n+2)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[U(n+2)-U(n+1)] / U(n+1)Un

on obtient pas de (Un)² ...
Et je vois pas comment faire!

Vérifie ton calcul, le numérateur est faux.
C'est normal que tu ne trouves pas (Un)².

ha exact désolé!
donc V(n+1)-Vn = [U(n+2)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[(U(n+1)+Un)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[(U(n+1)+Un)Un - (U(n+1))(U(n+1))] / U(n+1)Un
=[U(n+1)Un + (Un)² - (U(n+1))² ] / U(n+1)Un
=[U(n+1)Un + U(n-1)U(n+1) + (-1)^n - (U(n+1))² / U(n+1)Un
Est ce que ce calcul est correct ou non, pour l' instant ?

V(n+1)-Vn = [U(n+2)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
V(n+1)-Vn = [U(n+2)Un - [U(n+1)]²] / [U(n+1)Un]
Utilise la relation 2) b)
(Un+1)² = ...

(Un+1)² = UnU(n+2) + (-1)^n
C' est bon ?

Non

tu remplaces n par n+1, soit
(Un+1)² = UnU(n+2) + (-1)^(n+1)

V(n+1)-Vn = [U(n+2)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
V(n+1)-Vn = [U(n+2)Un - [U(n+1)]²] / [U(n+1)Un]
V(n+1)-Vn = [U(n+2)Un - UnU(n+2)+(-1)^(n+1)] / [U(n+1)Un]
V(n+1)-Vn = (-1)^(n+1) / [U(n+1)Un]

Une erreur de signe :

V(n+1)-Vn = [U(n+2)Un - [U(n+1)]²] / [U(n+1)Un]
V(n+1)-Vn = [U(n+2)Un - UnU(n+2)- (-1)^(n+1)] / [U(n+1)Un]
V(n+1)-Vn = (-1)^(n+2) / [U(n+1)Un]
= (-1)^(n) / [U(n+1)Un]

pourquoi passe tu de (-1)^(n+2) à (-1)^(n) ??

$1)^{(n+2)}$ = $1)^n$ x (-1)² = $1)^{(n)}$

Trés bien je te remercie !