deux suites imbriquées



  • Bonjour, je suis actuellement élève de lycée et mon professeur de mathématiques nous donne des devoirs maisons assez compliqués cet exercice n'est pas le plus dur mais c'est en tout cas sur celui ci que je bloque, c'est la première fois que je demande de l'aide en maths sur internet merci par avance de votre compréhension.

    Voici le sujet

    Soient a et b deux réels strictement positifs.
    On considère les suites (a(an$){n∈N}$ et (b(bn$){n∈N}$ définies par

    a0a_0=a
    b0b_0=b
    ∀n∈N, aa_{n+1}=(a=(an+bn+b_n)/2
    ∀n∈N, b</em>n+1b</em>{n+1}=√(a(a_nbnb_n)

    1. on suppose ici que a≥b

    a) démontrer que
    ∀n∈N, 0 < bnb_nbn+1b_{n+1}an+1a_{n+1}ana_n

    b) démontrer que ∀n∈N, aa{n+1}b</em>n+1-b</em>{n+1}(1/2n(1/2^n(a(a_nbn-b_n)

    et en déduire que:
    ∀n∈N, 0≤aa_nbn-b_n(1/2n(1/2^n(a(a_0b0-b_0)

    c) Que peut-on déduire des résultats précédents ?

    1. On suppose ici que a < b Démontrer que dans ce cas, 0 < b1b_1a1a_1
      Que peut-on en déduire étant donnés les résultats établis au 1) ?

    2. On note L(a;b) la limite commune des suites a et b indépendantes de l’ordre de a et de b.
      On l’appelle la « moyenne arithmético-géométrique » de a et b.
      Démontrer que quel que soit le choix de a et de b :

    a) L(b;a)=L(a;b)

    b)∀c ∈ ]0;+∞[, L(ca;cb)=c L(a;b)

    c)√(ab)≤L(a;b)≤(1/2)×(a+b)

    1. Déterminer une approximation de L(1;2) à 10610^{-6} près en précisant d'emblée à
      partir de quelle valeur de n on peut être certain que ana_n et bnb_n fournissent une telle
      approximation.

    Encore merci par avance, toute aide est la bienvenue

    edit : merci de donner des titres significatifs



  • Bonjour,

    Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

    1. a) tu utilises les propriétés sur les inégalités.


  • les questions qui me posent problème sont toutes celles du 3)



  • Quelle est la limite commune des deux suites ?


 

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