Déterminer un lieu géométrique dans le plan complexe

[florian77]

Bonjour,
Mon DM se divise en 2 parties.
J'ai fait la 2ème mais je n'arrive pas à faire la 1ère. Je ne vois pas du tout comment démarrer.
A) Je cherche quelqu'un succeptible de me mettre sur la voie pour la 1ère partie.
B) Je suis nouveau, puis je poster ce que j'ai fait pour la 2ème partie afin de confirmer ma solution?
Merci beaucoup
Voici le DM:
1ère partie
Pour tout nombre complexe z ≠ 1 on pose z' = (z+1) / (z-1)

1. Démontrer que: |z| = 1 ⇔ z' imaginaire pur
2. Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct
   (O ; vecteur u; vecteur v)
   Déduire de la question précédente le lieu géométrique des points M' d'affixe z' lorsque le point M d'affixe z décrit le cercle C de centre O et de rayon 1 privé du point A d'affixe 1.

*2ème partie (que j'ai faite, je la donne pour info)
Soit A le Pt d'affixe i, B le point d'affixe -i et f la fonction définie sur C - {i} par:
f(z) = (1-iz) / (z-i)

1. Vérifier que: pout tout z appartenant à C - {i},
   f(z) = -i + [ 2 / (z-i) ]
2. a]Démontrer que -i n'a pas d'antécédent par f
   b]Déterminer les antécédents de 0 et de i par f
3. A tout point M distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' telle que z' = f(z)
   a] Démonter que: Pour tout point M distinct de A, AM x BM' = 2
   b] Démontrer que lorsque M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4, M' se déplace sur un cercle C'dont on précisera le centre et le rayon
4. a] Déterminer l'ensemble E des points M(z) tel que z-i est un réel non nul
   b] Démontrer que lorsque M décrit E, M'se déplace sur une droite Δ que l'on précisera
   c] Lorsque M décrit E, M' décrit il toute la droite Δ
5. Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que f(z) est un imaginaire pur non nul
   On me précise d'utiliser: f(z) imaginaire <=> f(z) = -f(z) barre*

[Thierry]

Salut,

en introduisant les points A(1), B(-1) et M(z) sais-tu donner une interprétation géométrique de arg[ (z+1)/(z-1) ] ?