Déterminer la limite d'une fonction à l'aide d'un encadrement

Bonjour,
J'aurai besoin d'aide pour un exercice vrai-faux sur la proposition suivante :
Si pour tout réel x positif ou nul, 1≤ f(x) ≤ x+1, alors la limite de f(x) (quand x tend vers plus l'infini) est égale à plus l'infini.
Je pense que c'est vrai mais je n'arrive pas à trouver la démonstration, j'ai essayé avec le théorème des gendarmes et celui de comparaison mais ça ne fonctionne pas.
Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,
La proposition est fausse.
Il suffit de trouver un contre-exemple.
Considère la fonction f ainsi définie :
f(x)=x+1 si 0 ≤ x ≤1
f(x) = 2 si 1 ≤ x
Fais un graphique.
Cette fonction vérifie bien 1 ≤ f(x) ≤ x+1 pour tout x positif ou nul.
Et quand x tend vers +∞, elle tend vers 2.
Tu peux t'amuser à chercher d'autres exemples.

Merci beaucoup pour votre aide!

De rien.