Calculs sur nombres complexes

Je bloque sur un exercices , merci de m'aider
notation special : j'utilise bar(z) pour dire z barre [Pb réglé avec l'utilisation de LaTeX]

enoncé :

pour tout complexe z≠-1 on pose:

$\frac{2+\overline{z}}{1+\overline{z}}$

avec z=x+iy et Z=X+iY avec x,y,X et Y des réels .

1/ calculez X et Y en fonction de x et y

2/ Démontez que l'ensemble des points M(z) tels que Z soit réel est une droite privée d'un point .

3/ Démontrez que l'ensemble des points M(z) tels que Z soit imaginaire pur est un cercle privée d'un point .

Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
1/ Transforme la relation en utilisant z = x+iy

Puis identifie X et Y.

J'ai transformer la relation en utilisant z=x+iy et sa done :
Z=(2+x-iy)/(1+iy) mais ensuite je n'arrive pas a definir X et Y a partir de la .

euh jai fait un erreur en l'ecrivant :
Z=(2+x-iy)/(1+x-iy)

Multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur.
Tu dois identifier la partie réelle X et la partie imaginaire Y de Z.

je ne vois pas l'erreur au denominateur , merci de m'aider

oui mais si je multiplie le denominateur et le numerateur par l'expression conjugué , cela donne ça :
Z=(2+x-iy)(x+iy)/(1+x-iy)(x+iy)
=(2x+2iy+x²+xiy-iyx+y²)/(x+iy+x²+xiy-iyx+y²)
=(2x+2iy+x²+y²)/(x+iy+x²+y²)

Je ne comprend pas comment a partir de ce resultat je peux calculer X et Y

Tu as rectifié l'erreur au dénominateur.

L'expression conjuguée du dénominateur (1+x-iy) est 1+x+iy.

J'ai fait le calcul audessus

Non,

Tu as multiplié par x + iy, tu dois multiplier par 1 + x + iy.

sa me donne :
Z=(2+x-iy)(1+x+iy)/(1+x-iy)(1+x+iy)=(2+3x+iy+x²+y²)/(1+2x+x²+y²)
Je ne comprend toujours pas comment definir X et Y

X est la partie réelle de Z
et
Y la partie imaginaire de Z.

est ce que le technique est le bonne ?
sachant que re(Z)=X=(Z+ $z$ )/2

X=((2+3x+iy+x²+y²)/(1+2x+x²+y²)+(2+3x-iy+x²+y²)/(1+2x+x²+y²))/2
=((4+6x+2x²+y²)/(1+2x+x²+y²))/2
=(2+3x+x²+y²)/(1+2x+x²+y²)

et est ce que le resultat est bon ??
merci

La méthode est bonne, mais la solution peut être obtenue plus rapidement :
Z = (2+3x+iy+x²+y²)/(1+2x+x²+y²)
= (2+3x+x²+y²)/(1+2x+x²+y²) + iy/(1+2x+x²+y²)
= X + iY
soit
X = ....
Y = ....

d'accord soit X=(2+3x+x²+y²)/(1+2x+x²+y²)
et Y=iy/(1+2x+x²+y²) Merci

et pour la suite comment monter que l'ensemble des points m(z) tel que Z soit reel , est une droite privé dun point ?

Attention :
Y=y/(1+2x+x²+y²)

si Z est réel Y = ......
soit y = .....

si Z reel Y=0
donc y=0 ?

Oui
donc tu as l'équation de la droite.

don z=x est une doite et comme z≠-1 , la droite est privée du point -1
ensuite pour le 3 jai fait :
X=0 donc Z =y/(1+2x+x²+y²)
et si X=o alors x²+3x+2=0

delta=b²-4ac
=1
x1=-2 et x2=-1
Alors z=-2+iy ou z=-1+iy
Est ce que c'est ça , jai limpression que ce n'est pas très juste

quelqu'un pourrais me dire si je pars dans la bonne direction s'il vous plait ?

L'équation de la droite est y = 0

Pour la question 3, tu analyses l'équation : 2+3x+x²+y² = 0

je ne sais pas comment analyser cette equation , pourrais tu e donner un e piste s'ilte plait ?

Quelle est la forme pour l'équation d'un cercle ?

l'équation d'un cercle est (x-a)²+(y-b)²=r²

Transforme l'équation 2+3x+x²+y² = 0

pour l'écrire sous la forme (x-a)²+(y-b)²=r²

x²+y²=√(-3x-2)² ??

c'est ça ?

Non

x² + 3x + 2 +y² = 0
transforme x² + 3x + 2 = (x+ ....)² - .....

x²+3x+2=(x+(3/2))²-1/9 ??

Presque
x²+3x+2=(x+(3/2))²-1/4
Soit x²+3x+2+y² = (x+3/2)² + y² - 1/4

Soit équation d'un cercle de centre ..... de rayon ...
privé du point ....

ah oui exact , jai du me tromper en recopiant !
mais alors l'équation est x²+3x+c+y²=(x+3/2)²+y²-1/4 ? sa ne ressemble par vraiment a (x-a)²+(y-b)²=r²
je n'arrive ni a trouver le centre du cercle , ni le rayon et ni le de quel point il est privé ?
D'ailleurs pour la deuxieme question la droite était bien privée du point -1 ?

?

L'équation est : (x+3/2)² + y² - 1/4 = 0
soit
(x+3/2)² + y² = 1/4

C'est un imaginaire pur donc Y différent de 0.

donc le rayon est 1/8 , le centre du cercle est le point c de cordonées : (3/2, .. ? ) et je ne vois pas de quelle point il est privée ..

Non,

Vérifie tes calculs
Equation d'un cercle de centre C(a;b) et de rayon r,
(x-a)²+(y-b)²=r²

le rayon est de 1/2 et le centre c(3/2 ;0) , mais je vois toujours pas pour le point privé ?
Merci de m'aider

alors ? est ce ça ?

(x+3/2)² + y² = 1/4
Cercle de centre (-3/2;0) et de rayon 1/2.

Le dénominateur (1+x)² + y² doit être différent de 0.
donc le point (-1;0)

merci beaucoup ! et ultime question pour la deuxieme question le point privé etait bien (-1,0) aussi ?

Oui
c'est le même point.