Triangle, conjecture et demonstration

Bonjour... j'ai un DM a faire mais je ne trouve pas comment m'y prendre si vous pourriez m'aidez SVP ...

Voici l'énoncé:

Problème:

Soit ABC un triangle, M un point du segment [AB] et N un point du segment [AC].
On veut déterminer toutes les positions du points M et N tels que l'aire du triangle AMN soit la moitie de l'aire du triangle ABC

Indication

On distinguera deux cas: (MN) parallèle a (BC) et (MN) non parallèle a (BC).
pour chaque cas, on pourra dans un premier temps se servir d'un logiciel de géométrie dynamique pour trouver les positions solutions au problème.
Pour le premier cas on établira une conjecture.
Pour établir la conjecture du deuxième cas
on posera x=(AM)/(AB) et y=(AN)/(AC) et on essaiera d'établir une relation entre x et y.
Évidement il faudra démontrer ces deux conjectures...

Aidez moi si vous le pouvez ...
Mercii

Bonjour,

As tu trouvé des positions solutions possibles ?
Une conjecture ?

oui pour les positions solutions possibles mais pas la conjectures... c'est justement la ou je bloque. les conjectures et les demonstration

Quelles sont les positions possibles ?

quand (MN) est parallele a (BC)

Dans la figure :
A1 est l aire du triangle AMN
A2 est l aire du triangle ABC
A3 est egale a A1/A2
et O et P sont 2 projetter orthogonaux de M et N

Mais je comprend pas bien si les coordonnee de M et N sont les positions possibles?

$fichier math$

Oui c'est bien la position des points M et N que l'on cherche.

tu as fait le cas (MN) parallèle à (BC). Quelle conjecture as-tu émise ?

Pour l'instant aucune parce que je ne comprend vraiment rien...
Parce que en faisant mon dessin j'ai bien trouver les positions exacte de M et N pour ce l'aire AMN soit la moitie de l'aire du trianlge ABC mais je ne comprend pas ce que je dois en faire et quelle conjecture je pourrait emettre...

As tu fait plusieurs figures ?

Non car pour les cas ou (MN) est parallele a (BC) il n'y a qu'un seule figure possible celle que j'ai poste dans le massage du 7 novembre

Donc le triangle ABC est donné ?
Sinon, tu fais varier la position des points A, B et C pour établir ta conjecture.

Non, le triangle ABC n'est pas donne

Donc fais varier la position des points A, B et C pour conjecturer sur la position des points M et N.

Je ne trouve rien... pouvez vous m'aider pour cette conjecture SVP ?

Compare les mesures des bases et des hauteurs des triangles .

je voudrais plutot avoir la reponse

Avec géogébra, calcule le rapport des mesures des côtés des deux triangles.

Oui et ensuite?

Combien as-tu trouvé ?

0,71

Oui,
0,707 en valeur approchée.

Oui, jai reussi a faire une demonstration pour le cas ou les droites sont parallele. Merci.
Mais je n'arrive pas a trouver une demonstration pour le cas ou elle ne le sont pas.
je sais que pour que l'aire du petit triangle soit egale a la moitier du grand triangle il faut que un des points M ou N doit se situer sur la moitier de son segment et l'autre doti etre confondu avec les point B ou C. Les points M et N sont donc sur la Mediane des sommets issu de B et de C.
Pouvez vous m'aider pour la demonstration s'il vous plait?

Tu ne trouves que deux positions ?

je trouve deux positions sur les medianes mais aussi toute les positions posible du moment que M est plus grand ou egale a AZ ( Z etant le milieu de AB)

As-tu établi la relation entre x et y ?

OUi