DM fonctions numériques

Bonjour à tous. J'ai un DM à faire sur les fonctions numériques et je ne suis pas du tout forte à ce sujet. J'espère que vous pourrez m'aider à faire mon exercice.
Merci beaucoup d'avance.

Exercice
On donne trois expressions de l'image f(x) d'un réel x différent de 1 par une fonction f :

(1) f(x)= (3x-1)/(x-1)

(2) f(x)= 3+(2/(x-1))

(3) f(x)=1+(2x/(x-1))

1° Vérifier que ces trois expressions sont cohérentes.
2° Dans chacun des cas suivants, indiquer l'expression qui vous paraît la plus adaptée pour répondre au problème posé.
a) Etudier les variations de la fonction f
b) Resoudre l'équation f(x)=0
c) Résoudre l'inéquation f(x)<1
d) Trouver un encadrement de f(x) lorsque x appartient à l'intervalle [-2;0].

Pour le 1° je pense commencer à développer la (1)

Bonjour,

Réduis au même dénominateur.
Indique tes éléments de réponse.

Alors on développe (2)
3+(2/(x-1)) = 3(x-1)/x-1 + 2/x-1 = 3x-3+2/x-1 = 3x-1/x-1
On retrouve (1)
Puis on développe (3)
1+(2x/x-1) = 1(x-1)/x-1 + 2x/x-1 = x-1+2x/x-1 = 3x-1/x-1
On retrouve aussi (1)
Les 3 expressions sont donc cohérentes.

Pour le 2° je fais un tableau de signe au brouillon puis je met en place mon tableau de variations avec l'expression (1)

Pour la question 2) tu dois choisir l'expression la plus adaptée.

Pour les variations, laquelle nous permet d'écrire immédiatement les variations ?
Pour quel type de fonction connais-tu les variations ?

dans le tableau de variations les flèches descendent et 0 est une valeur inderdite (même représentation que la fonction inverse)

Ce n'est pas x = 0 qui est une valeur interdite mais x = 1

Pour l'étude des variations, tu utilises quelle expression ?

la (1)
3x-1 / x-1

Et comment trouves tu les variations ?

Ben je l'ai pas fait par calcul ... j'ai regarder sur la calculette.
Je ne sais pas le faire par calcul ...

Tu dois indiquer la relation la plus adaptée qui permet de répondre au problème.
a) Connais tu les variations de la fonction 1/x ?

oui

Donc quelle expression est voisine de 1/x ?

la (2)

Oui, on doit choisir l'expression 2.

Pour le 2)c) je vois pas comment faire ...

Pour le b)
Avec quelle expression la résolution f(x) = 0 est-elle la plus adaptée ?

la (3)

Non c'est la 1) car il suffit de résoudre l'équation 3x-1 = 0.

Ah oui dsl je n'ai pas regarder au bon endroit. la (3) c'est pour la question 2)c)

Oui, pour la c) c'est l'expression 3.

mais je vois pas comment résoudre l'inéquation avec la 3 en fait --'

Cela revient à résoudre 2x/(x-1) < 0
donc tableau de signes.

x / -l'infini / 1 / 2 / +l'infini
2x / - - 0 +
x-1 / - 0 + +
(2x)/x-1 / + // - +

j'espère que c'est lisible comme tableau de signe ...

A quoi correspond la valeur 2 pour x ?

Je me suis tromper en l'écrivant :
Avec l'expression (3)
1+(2x)/(x-1)

x / .........-l'infini ..............0..................1................. +l'infini......
2x /........... - ...................0.... + ................................ + ..........
x-1 / ......... - ......................... - ..........0 .................... + ..........
(2x)/x-1 /... + ................../.... - ..........//..................... + ..........

La fonction est strictement positive sur ] -l'infini ; 0 ]U] 1 ; +l'infini [ et strictement négative sur [0;1[

C'est correct.