position dun point du courbe pour la longueur minimale d'un segment



  • J'ai exercice plutot compliqué et je ne suis pas sure d'employer la bonne méthode :

    Le plan est muni d'un repere orthonormé , on considere la courbe C reprensentaion graphique de la fonction g définie sur [0;+l'infini[ par g(x)=x√x et A le point de coordonnée (5/2;0)

    1. determiner la position de M sur C tel que la longueur AM soit minimale .

    J'ai pensé utiliser pythagore avec le triangle AMx mais je ne sais pas comment faire par la suite pour montrer la valeur minimale .
    Merci de m'aider


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Cherche les coordonnées du vecteur AM, puis l'expression de la distance AM.
    Tu étudies ensuite les variations de la fonction correspondante.



  • l'expression de la distance , c'est la meme chose que les coordonées du vecteur non ?


  • Modérateurs

    Non,

    Un vecteur OM (x;y),
    la distance OM = √(x²+y²)



  • d'accord , donc jai calculé la distance AM
    je trouve : AM=√(x-5/2)²+(x√x)²
    Et ensuite jai calculé la derivé pour Voir les variation de la fonction , mais elle est plutot compliqué , et la dérivée seconce aussi ...



  • d'accord , donc jai calculé la distance AM
    je trouve : AM=√(x-5/2)²+(x√x)²
    Et ensuite jai calculé la derivé pour Voir les variation de la fonction , mais elle est plutot compliqué , et la dérivée seconce aussi ...


  • Modérateurs

    Pour quelle valeur de x cette somme de deux carrés est-elle minimale ?



  • je ne sais pas .. comment calculer ça ?


  • Modérateurs

    A partir de : (x-5/2)²+(x√x)²
    tu cherches le minimum
    C'est la somme de deux carrés.

    Etudie la fonction correspondante



  • X=1 ?


  • Modérateurs

    Pour x = 0 on trouve un minimum relatif.
    x = 1 est la solution mais tu dois le démontrer.



  • sa ne me permet pas de calculer la valeur minimale de AM , non ?


  • Modérateurs

    Il faut étudier les variations de la fonction. On trouve ici qu'un minimum relatif.



  • Atta mais la ya une erreur...

    Bonjour pardon ^^
    Bref si tu calcule le vecteur AM et que tu part du principe que A(5/2;0) et M(x;y) alors AM(x-5/2;y-0) et non ce que vous avez dis...
    Après il me semble que la longueur AM=√((x-5/2)²+y²) et non √(x-5/2)²+√(x√x)²

    et si tu utilise géogebra, tu trace ta courbe défini le point A et M, tu trace la longueur AM, ensuite tu trace la tangente a C passant par M et la tangente est perpendiculaire a AM ssi M(1;1) donc je pense que tu t'es trompé :S

    Voilà moi j'en suis là et j'arrive pas a le prouver par le calcule...

    Merci


  • Modérateurs

    M est un point de la courbe, donc les coordonnées sont (x ; x√x)
    Donc vect AM(x-5/2 ; x√x)
    et
    AM² = (x-5/2)² + x³

    Ce sont les variations de cette fonction qu'il faut étudier.



  • ok je vois ou tu veux en venir 🙂
    merci !!



  • bon bhen c'est bon merci bien 😄


  • Modérateurs

    Tu as trouvé M(1;1) ?



  • tout a fait 🙂

    après le reste coule de source !


  • Modérateurs

    Bien



  • encor moi ^^
    j'arrive pas a montrer que la tangente au point d'abscisse 1 est perpendiculaire a AM :S

    si on fait pythagore avec une point C qui serais l'intersection de la tangente avec l'axe des abscisse, sa fonctionne pas.
    (C(1/3;0)


  • Modérateurs

    Cherche un vecteur directeur de la tangente et montre qu'il est orthogonal au vecteur AM.



  • ouais c'est ça 🙂
    merci beaucoup !


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