Calculer images de points, forme trigonométrique et parties réelle et imaginaire

Bonjour,

J'ai un devoir maison à faire pour lundi. Ce devoir comporte deux exercices dont un que j'ai presque fini, mais où je bloque sur la fin. J'ai commencé le deuxième exercice mais je bloque aussi. Quelqu'un pourait il m'aider. Voici les énoncés de ces deux exercices ainsi que mes réponses.

Exercice 1

*A) On note pour tout x de $mathbb{R}$ -{1/2} : f(x) = (x-1)/(1-2x) et (C) sa courbe représentative de f dans un plan de repere orthonormal ( O; $i→i^\rightarrow$ ; $j→j^\rightarrow$ ).

Etudier f. *

Je trouve f'(x)= -1/(1-2x)²

$fichier math$

*2. Dessiner en vert (C).

B) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( O; $u→u^\rightarrow$ ; $v→v^\rightarrow$ ). Pour z≠1, on note z=x + iy avec x et y réels.

Calculer les parties réelles et imaginaires de (z+i)/(1-z) et de (z+1)/(1- zbarre). *

Re[(z+i)/(1-z)] = (x -x² - y² - y) / [(1-x)² + y²]
Im [(z+i)/(1-z)] = (y -x + 1) / [(1-x)² + y²]

Re[(z+1)/(1- zbarre)] = ( x-x²+ y² +y) / [(1-x)² + y²]
Im[(z+1)/(1- zbarre)] = (-2yx +y - x +1) / [(1-x)² + y²]

*2. determiner les 3 ensembles de points E1, E2 et E3 suivants :

a) E1 ensemble des point M(z) avec z≠1 et (z+i)/(1-z) réel.
*
E1 est la droite d'équation y=x-1 privée du point A(1;0)

*b) E2 ensemble des points M(z) avec z≠1 et (z+i)/(1-z) imaginaire pur. *

E2 est le cercle de centre I( 1/2 ; -1/2 ) et de rayon R = √2/2 privé du point A(1;0).

*c) E3 ensemble des point M(z) avec z≠1 et (z+1)/(1- zbarre) imaginaire pur. *

E3 est l'union de la droite d'équation y=-x et de la droite d'équation y= x-1, privé du point A(1;0).

*3. On appelle H l'ensemble des points M d'affixe z avec z≠1 et (z+1)/(1- zbarre) réel.
*
H est de la forme y= ( x-1)/(1-2x)

*a)Les points A(-i) ; B ( -1/2 - 3i/4 ) ; C ( 3/2 - i/4) et D ( 1/2 + (1/2)×i) sont ils dans H ?
*
A ∈ H
B ∈ H
C ∈ H
D ∉ H

b) A l'aide de la question précedente indiquer si l'ensemble H est une droite.

lensemble H n'est pas de une droite car ce n'est pas une équation de la forme y= ax + b

*c) Montrer que H ne coupe pas la droite d'équation x = 1/2. *

On procède par l'absurde :
Suposons que h coupe la droite d'équation x= 1/2, dans ce cas il existe un point d'abscisse 1/2 qui appartient a l'ensemble H. On cherche ce point :
y= ( x-1)/( 1- 2x)
y = (1/2 -1 )/ (1 - 2× 1/2 )
Equation Impossible donc il n'existe aucun point d'abscisse 1/2 sur H. Ainsi h ne coupe pas la droite d'équation y = 1/2

d) Montrer que H n'est pas un cercle.

je suis bloquée ici

*e) Montrer que H est une courbe que l'on dessineras en bleu. *

je ne sais pas comment le démontrer.

Exercice 2

*Soit les nombres complexes $z_A$ = 2 $z_B$ = 1+ i√3 $z_C$ = 1 + i√3

A) 1. Donner la forme trigonométrique de $z_B$ et $z_C$ *

$z_B$ = 2 ( cos π/3 + i sin π/3 )
$z_C$ = 2 ( cos 5π/3 + i sin 5π/3 )

*2. déterminer l'ensemble des points d'affixe z tels que module de z = module de z-2 *

module de z = module de z-2
⇔ ( module de z) ² = ( module de z-2 )²
⇔ x² +y² = (x-2)² + y²
⇔ x² + y² = x² -4x +4 + y²
⇔ x² + y² - x² +4x -4 -y² = 0
⇔ 4x - 4 = 0
⇔ x = 1

Donc il existe un seul point d'affixe z= 1

*B) A tout point M d'affixe z ( avec z≠2 ), on associe le point M d'affixe z' definie par z' = -4/(z-2)

Résoudre, dans $mathbb{C}$ , l'équation z = -4/ (z-2)*

z = -4/ (z-2)
z(z-2) = -4
z² -2z +4 = 0

Δ= -12

$z_1$ = 1- i√3
$z_2$ = 1+ i√3

2. En déduire les points images des points $B(z_B$ ) et C( $z_C$ ).

Je ne sais pas ce qu'il faut faire

*C) Pour chaque proposition, indiquer si elle est vrai ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple.

si z = -1/2 + (1/2)xi, alors $z^4$ est un nombre réel. *
Vrai.

$z^4$ = (-1/2 + $1/2)xi)^4$
= (-1/2 + (1/2)xi)² x (-1/2 + (1/2)xi)²
= -1/4

2. si z + zbarre = 0, alors z = 0

Pas encore fait.

Si z + 1/z = 0, alors z= i ou z= -i*

Pas encore fait

4. si module de z = 1 et si module de z + z' = 1, alors z' = 0

Pas encore fait.

Merci d'avance pour toute aide qui me sera apportée.

Bonjour,

Vu que H ne coupe pas la droite x = 1/2, existe t-il des points de H de part et d'autre de la droite x = 1/2 ?

Exercice 2, z' = z conduit aux solutions .....
donc ...

oui il existe des points de part et d'autre de la droite d'equation x= 1/2.
Ce qui signifie que H n'est pas un cercle c'est ça ?
Mais je ne vois pas comment le démontrer ?

Pour l'exo 2, les points images sont les points eux mêmes, puisque z=z' , c'est ça ?

Montre que la fonction est décroissante.

C'est déja fait puisque l'ensemble H correspond a la fonction f. Faut il que je le redémontre ou seulement que je dise que l'ensemble H et la fonction f sont identiques ?

Oui, utilise le résultat de la fonction.

Pour la question e de l'exo 1, je dis que H est une courbe car elle a la meme équation que la fonction f qui est une courbe ?
Ou est ce qu'il y a une autre façon de prouver que H est une courbe ?

Oui, utilise les résultats de la première partie.

Merci, pour l'exo 2. C. 2. J'ai trouver un contre exemple est ce bon ?

On pose z = x +iy
z + zbarre = 0
⇔ x + iy + x - iy = 0
⇔ 2x = 0
⇔ x = 0
Ainsi si z + zbarre = 0 alors z = iy

Pouvez vous m'aidez pour la 3 et la 4, s'il vous plait ?

Pouvez vous m'aidez s'il vous plait ???

Pour la question 3,
Réduit z + 1/z au même dénominateur puis résous :
numérateur = 0
dénominateur différent de 0.

Pour la question 4, trouve un contre exemple.

Pour la question 3, il faut poser z = x + iy avant de reduire au meme denominateur ?

Pour la question 4 je n'arrive pas a trouver un contre exemple, comment dois je faire ?

Pour la question 3, inutile de poser z = x+iy.

pour la question 4 :
z = 1 et z'=-2;
z = 1/2 +i√3/2 et z' = ...

si z = 1/2 +i√3/2
module z = 1
on pose z' = x+iy
module z + z' = 1
√[(1/2 + x)²+( √3/2 + y)²] = 1
(1/2 + x)²+( √3/2 + y)² = 1²
1/4 + x + x² + 3/4 + y√3 + y² = 1
1 + x + x² +y√3 + y² = 1

donc x et y = 0 donc z' = 0

Mais dans ce cas l'affirmation est vrai.
Est ce exact ?

Et si z' = -1 ?

si z' = -1 et z = 1/2 +i√3/2 alors
module de z + z' = √( 1/2 -1)² + ( √3/2 + 0 )²
= √ ( 1/4 - 1 +1 + 3/4 )
= 1

Donc je marque ça ?

Oui

C'est un contre exemple.

D'accord.
Merci Beaucoup pour votre aide.