Comment appliquer le principe de la bijection

Bonjour à tous,

j'ai une question d'un DM qui me pose problème :
Citation
$soit:f:la:fonction:d\acute{e}finie:sur: \mathbb {r} \math : par: $:\$ f(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2}$
$\mathbf{question : :}: f: r\acute{e}alise-t-elle: une: bijection: de: \mathbb {r}: \math dans: \mathbb {r} \math : ?$

J'ai bien compris le principe de la bijection, mais je n'arrive pas à l'appliquer en pratique ... Je doit vraiment être pas doué ...

Bref, si une bonne âme voudrait bien m'expliquer comment fonctionne la bijection ici

Merci d'avance

Bonjour

regarde peut-être du côté de sa dérivée

Bonjour,

Indique tes éléments de réponse.
Comment démontre t-on qu'une fonction réalise une bijection ?

Ben pour l'instant j'ai observé que f est continue sur IR et strictement croissance sur IR (donc monotone).

S'il y a bijection alors
A partir de $f(x)=ex−e−x2f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
donc $y=ex−e−x2y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ (car $f (x) = y$ )

j'ai déterminé $x=ln⁡(x)−ln⁡(−x)2x=\frac{\ln {(x)}-\ln {(-x)}}{2}$ (je ne suis pas sûr du résultat)
par conséquent $f−1(x)=ln⁡(x)−ln⁡(−x)2f^{-1}(x)=\frac{\ln {(x)}-\ln {(-x)}}{2}$ (car $f^{-1}(y)=x$ )

Or comme il y a présence de la fonction ln dans $f^{-1}$ la bijection est réalisée de $r\mathbb {r}$ dans $\mathbb {r} \math ^{*}_{+}$.

C'est ce que j'ai trouvé mais je ne pense pas que ce soit juste.

Je sais qu'il existe un moyen de déterminer la bijection à l'aide de la dérivée de f (ici $f^{'} (x) = f (x)$ ) à l'aide d'un tableau de variation mais je ne sais pas comment il faut procéder.

Non f'(x) n'est pas égal à f(x)

Calcule la dérivée f' et cherche le signe de f'(x).

Merci pour ta réponse. J'obtiens :

On determine la dérivée de f :

$f′(x)=ex+e−x2f'(x)=\frac{(e^{x}-(-1\times e^{-x}))2-(e^{x}-e^{-x})0}{2^{2}}\ f'(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

on en déduit le tableau suivant :
$\large \begin{tabular} {|c|c|} \hline & -\infty ::::::::::::+\infty \ \hline :signe:de:e^{x}:& + \ \hline :signe:de:e^{-x}:& + \ \hline :donc:signef':& + \ \hline :variation:de:f: & \nearrow \ \hline \end{tabular}$

A partir de là je peux en déduire que f est strictement croissante sur IR et continue, mais je ne vois pas comment faire pour dire qu'il y a bijection de IR dans IR ...

C'est une propriété :
Si une fonction f est dérivable sur R et si pour tous x de R, f'(x) >0, alors f est une bijection de R sur R.

Vérifie sur ton cours.

ça marche Merci beaucoup pour ton aide !