Comment appliquer le principe de la bijection
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Ssylvain67 dernière édition par Hind
Bonjour à tous,
j'ai une question d'un DM qui me pose problème :
Citation
$soit:f:la:fonction:d\acute{e}finie:sur: \mathbb {r} \math : par:f(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2}$
$\mathbf{question : :}: f: r\acute{e}alise-t-elle: une: bijection: de: \mathbb {r}: \math dans: \mathbb {r} \math : ?$J'ai bien compris le principe de la bijection, mais je n'arrive pas à l'appliquer en pratique ... Je doit vraiment être pas doué ...
Bref, si une bonne âme voudrait bien m'expliquer comment fonctionne la bijection ici
Merci d'avance
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Bonjour
regarde peut-être du côté de sa dérivée
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Bonjour,
Indique tes éléments de réponse.
Comment démontre t-on qu'une fonction réalise une bijection ?
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Ssylvain67 dernière édition par
Ben pour l'instant j'ai observé que f est continue sur IR et strictement croissance sur IR (donc monotone).
S'il y a bijection alors
A partir de f(x)=ex−e−x2f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}f(x)=2ex−e−x
donc y=ex−e−x2y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}y=2ex−e−x (car f(x)=yf(x)=yf(x)=y)j'ai déterminé x=ln(x)−ln(−x)2x=\frac{\ln {(x)}-\ln {(-x)}}{2}x=2ln(x)−ln(−x) (je ne suis pas sûr du résultat)
par conséquent f−1(x)=ln(x)−ln(−x)2f^{-1}(x)=\frac{\ln {(x)}-\ln {(-x)}}{2}f−1(x)=2ln(x)−ln(−x) (car f−1(y)=xf^{-1}(y)=xf−1(y)=x)Or comme il y a présence de la fonction ln dans f−1f^{-1}f−1 la bijection est réalisée de r\mathbb {r}r dans $\mathbb {r} \math ^{*}_{+}$.
C'est ce que j'ai trouvé mais je ne pense pas que ce soit juste.
Je sais qu'il existe un moyen de déterminer la bijection à l'aide de la dérivée de f (ici f′(x)=f(x)f'(x)=f(x)f′(x)=f(x)) à l'aide d'un tableau de variation mais je ne sais pas comment il faut procéder.
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Non f'(x) n'est pas égal à f(x)
Calcule la dérivée f' et cherche le signe de f'(x).
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Ssylvain67 dernière édition par
Merci pour ta réponse. J'obtiens :
On determine la dérivée de f :
f′(x)=(ex−(−1×e−x))2−(ex−e−x)022 f′(x)=ex+e−x2f'(x)=\frac{(e^{x}-(-1\times e^{-x}))2-(e^{x}-e^{-x})0}{2^{2}}\ f'(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}f′(x)=22(ex−(−1×e−x))2−(ex−e−x)0 f′(x)=2ex+e−x
on en déduit le tableau suivant :
$\large \begin{tabular} {|c|c|} \hline & -\infty ::::::::::::+\infty \ \hline :signe:de:e^{x}:& + \ \hline :signe:de:e^{-x}:& + \ \hline :donc:signef':& + \ \hline :variation:de:f: & \nearrow \ \hline \end{tabular}$
A partir de là je peux en déduire que f est strictement croissante sur IR et continue, mais je ne vois pas comment faire pour dire qu'il y a bijection de IR dans IR ...
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C'est une propriété :
Si une fonction f est dérivable sur R et si pour tous x de R, f'(x) >0, alors f est une bijection de R sur R.Vérifie sur ton cours.
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Ssylvain67 dernière édition par
ça marche
Merci beaucoup pour ton aide !