Expression de l'aire d'un rectangle


  • M

    Sur la figure ci-dessous,
    le triangle ABC est rectangle et isocéle en A.
    On donne BC = 9.
    Soit I le milieu de [BC].
    Le point M appartient au segment [BI].
    Le quadrilatère MNPQ est un rectangle où N est un point du segment [AB],P un point du segment [AC] et Q un point du segment [BC].

    1.a. Démontrer que MN = BM
    b. Prouver que BM = QC.
    2. On pose BM = x
    a. Pourquoi le réel x est-il un élément de [0 ; 4.5] ?
    b. Exprimer les dimensions MQ et MN en fonction de x.
    c. Démontrer que l'aire du rectangle MNPQ, notée f(x), s'écrit : f(x) = 9x - 2x².
    3. Calculer la valeur exacte de f(9/4).
    4. Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la représentation graphique de la fonction f, notée Cf

    Image du triangle


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

    Quelle est la nature du triangle BNM ?


  • M

    Je sais qu'il est rectangle mais comment le démontrer ?


  • N
    Modérateurs

    Le quadrilatère MNPQ est un rectangle, donc l'angle NMQ = ....
    Le triangle ABC est rectangle isocèle donc l'angle ABC = .....


  • A

    bjr

    1.a
    pythagore au triangle ABC rectangle en A : BC²=AB²+AC²
    Comme ABC est un triangle rectangle et isocèle en A (AB=AC), alors BC²=2AB²
    Soit AB²=BC² / 2 d'où AB²= 81/2
    App également pythagore au triangle IAB rectangle en A : AB²=IA²+IB²
    Soit IA²=AB²-IB²; sachant que IB = BC / 2 , alors IA²= 81 /2 - 81 / 4
    Donc IA²= (162 - 81) / 4 = 81 /4 = (9/2)²
    D'où IA = 9/2. Par conséquent IA = BI. Donc le triangle IAB est isocèle et rectangle en I.
    Appl thalès à (BMN) et (BIA) [(MN) //(IA)] ; B,M,I et B,N,A alignés dans le mê ordre ; BM/BI = BN/BA = MN/IA; comme IA = BI, alors BM = MN

    A vérifier; il y a peut-être (certainement) beaucoup plus simple. C 'est une piste.


  • A

    b) prouver que BM = QC
    COMME le quadrilatère MNPQ est un rectangle, alors LE POINT Q est le symétrique, par rapport à la droite (AI), du point M.
    Donc BM = QC


  • M

    Merci beaucoup pour ces réponses mais mnt il faudrait m'eclairer sur la 2b 2c et 3 svp.


  • A

    On sait que le sement [B,C] mesure 9 cm et que I est le milieu de [B,C], donc [B,I] mesure 4,5 cm. Comme on a posé BM = x et que M est placé entre B et I alors x varie entre 0 et 4,5 cm; x appartient à [0;4,5].
    BM = x; par symétrie, par rapport à la droite (A,I), QC = x.
    Donc MQ = BC - 2 × x = 9 - 2x.
    Nous savons d'après le I, que BM/BI = MN/IA, donc MN = BM × IA / BI
    MN = x × 9/2 / 9/2 = x × 9/2 × 2/9 = x
    Soit BM = x, MQ = 9 - 2x, MN = x

    D'où l'aire du rectangle MNPQ est : f(x) = MN × MQ = (9-2x) × x
    Soit f(x) = 9x - 2x²

    f(9/4) = 9 × 9/4 - 2 x (9/4)² = 81/4 - 2×81/16 = 81/4 - 81/8 = (162-81) / 8 = 81/8

    Bon courage; Comme toujours je tiens à préciser qu'il sagit de piste.


  • A

    PS : d'après le I, on avait déjà démontré que BM =MN, donc que MN = x
    et aussi prouvé que BM = QC, donc que QC = x.
    soit MN=QC=BM=x


Se connecter pour répondre