Expression de l'aire d'un rectangle

Sur la figure ci-dessous,
le triangle ABC est rectangle et isocéle en A.
On donne BC = 9.
Soit I le milieu de [BC].
Le point M appartient au segment [BI].
Le quadrilatère MNPQ est un rectangle où N est un point du segment [AB],P un point du segment [AC] et Q un point du segment [BC].

1.a. Démontrer que MN = BM
b. Prouver que BM = QC.
2. On pose BM = x
a. Pourquoi le réel x est-il un élément de [0 ; 4.5] ?
b. Exprimer les dimensions MQ et MN en fonction de x.
c. Démontrer que l'aire du rectangle MNPQ, notée f(x), s'écrit : f(x) = 9x - 2x².
3. Calculer la valeur exacte de f(9/4).
4. Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la représentation graphique de la fonction f, notée Cf

Image du triangle

Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Quelle est la nature du triangle BNM ?

Je sais qu'il est rectangle mais comment le démontrer ?

Le quadrilatère MNPQ est un rectangle, donc l'angle NMQ = ....
Le triangle ABC est rectangle isocèle donc l'angle ABC = .....

bjr

1.a
pythagore au triangle ABC rectangle en A : BC²=AB²+AC²
Comme ABC est un triangle rectangle et isocèle en A (AB=AC), alors BC²=2AB²
Soit AB²=BC² / 2 d'où AB²= 81/2
App également pythagore au triangle IAB rectangle en A : AB²=IA²+IB²
Soit IA²=AB²-IB²; sachant que IB = BC / 2 , alors IA²= 81 /2 - 81 / 4
Donc IA²= (162 - 81) / 4 = 81 /4 = (9/2)²
D'où IA = 9/2. Par conséquent IA = BI. Donc le triangle IAB est isocèle et rectangle en I.
Appl thalès à (BMN) et (BIA) [(MN) //(IA)] ; B,M,I et B,N,A alignés dans le mê ordre ; BM/BI = BN/BA = MN/IA; comme IA = BI, alors BM = MN

A vérifier; il y a peut-être (certainement) beaucoup plus simple. C 'est une piste.

b) prouver que BM = QC
COMME le quadrilatère MNPQ est un rectangle, alors LE POINT Q est le symétrique, par rapport à la droite (AI), du point M.
Donc BM = QC

Merci beaucoup pour ces réponses mais mnt il faudrait m'eclairer sur la 2b 2c et 3 svp.

On sait que le sement [B,C] mesure 9 cm et que I est le milieu de [B,C], donc [B,I] mesure 4,5 cm. Comme on a posé BM = x et que M est placé entre B et I alors x varie entre 0 et 4,5 cm; x appartient à [0;4,5].
BM = x; par symétrie, par rapport à la droite (A,I), QC = x.
Donc MQ = BC - 2 × x = 9 - 2x.
Nous savons d'après le I, que BM/BI = MN/IA, donc MN = BM × IA / BI
MN = x × 9/2 / 9/2 = x × 9/2 × 2/9 = x
Soit BM = x, MQ = 9 - 2x, MN = x

D'où l'aire du rectangle MNPQ est : f(x) = MN × MQ = (9-2x) × x
Soit f(x) = 9x - 2x²

f(9/4) = 9 × 9/4 - 2 x (9/4)² = 81/4 - 2×81/16 = 81/4 - 81/8 = (162-81) / 8 = 81/8

Bon courage; Comme toujours je tiens à préciser qu'il sagit de piste.

PS : d'après le I, on avait déjà démontré que BM =MN, donc que MN = x
et aussi prouvé que BM = QC, donc que QC = x.
soit MN=QC=BM=x