spe : entiers n tels que n^3+6n^2+4n soit divisible par 8

Bonjour

alors je devais calculer (n+2)³ donc je trouve n³+6n²+12n+8

et avec ça je dois deduiire que tous les entiers n tels que n³+6n²+4n soit divisible par 8 sont de la forme n=8k ou n=8k+2 ou n=8k4 ou n=8k+6 avec k ∈ $mathbb{Z}$

Alors j'ai commencé par dire que 8 divise n³+6n²+4n donc
n³+6n²+4n=8q avec q ∈ $mathbb{Z}$

mais la maintenant je suis bloqué alors pourriez vous m'aider svp

Bonjour,

Commence par exprimer n³+6n²+4n en fonction de (n+2)³

bonjour, alors n³+6n²+4n = (n+2)³-8n-8

Bonjour,
Donc n³ +6n²+4n ≡ (n+2)³ modulo 8
Envisage tous les cas selon que n est congru à 0 , 1 , 2 ... ou 7 modulo 8

D'accord vous pouvez juste me faire un exemple pour que j'arrive a faire les autres

Si n ≡ 0 modulo 8, alors
n+2 ≡ 2 modulo 8
donc (n+2)³ ≡ 8 ≡ 0 modulo 8

Si n ≡ 1 modulo 8, alors ...

D'accord d'accord merci beaucoup je fais la suite et je vous transmet mes résultats

Entendu.

si n ≡ 1 [8]
alors n+2 ≡ 3 [8]
alors (n+2)³ ≡ 27 [8]

Achève : prend le reste de 27 modulo 8 :
(n+2)³ ≡ 3 modulo 8
L'important ici est que (n+2)³ n'est pas congru à 0 modulo 8 , donc pas multiple de 8.

d'accord

Y a-t-il d'autres questions ensuite ? afin que je puisse y réfléchir.

si n ≡ 2 [8]
alors n+2 ≡ 4 [8]
alors (n+2)³ ≡ 64 [8]
alors (n+2)³ ≡ 0 [8]

Oui.
Je pense que tu vas savoir continuer, mais les messages ont dû se croiser : y a-t-il d'autres questions ensuite ?

oui mais je voudrais juste savoir donc la je fais pour chaque cas de n mais après comment je conclus que tous les entiers de n tels que n³+6n²+4n soit divisible par 8 sont de la forme n=8k ou n=8k+2 ou n=8k+4 ou n=8k+6 ??

Tu as vu deux cas :
Si n ≡ 0 modulo 8, alors (n+2)³ ≡ 0 modulo 8 donc n³ +6n²+4n ≡ 0 modulo 8
Et n ≡ 0 modulo 8 signifie que n est de la forme 8k

Par contre, si n ≡ 1 modulo 8, c'est-à-dire si n est de la forme 8k +1, le résultat n'est pas un multiple de 8.

En poursuivant l'étude des cas, tu verras quels sont ceux pour lesquels
n³ +6n²+4n est ou n'est pas un multiple de 8.

ah d'accord merci beaucoup et donc apres la dernière question c'est de montrer que toutes les solutions de n³ +6n²+4n ≡ 0 [8] sont les n pairs

Que peut-on dire d'un entier de la forme 8k, 8k+2, 8k+4, 8k+6 ?

Ils sont tous pairs

Bien sur : les solutions sont des nombres pairs.
Mais il faut aussi se poser la question réciproque : les nombres pairs sont-ils tous de la forme 8k, 8k+2, 8k+4, ou 8k+6 ?

j'avais pensé faire 8k+2 = 0 mais en fait ca ne fonctionne pas

8k = 0 est possible, mais pas 8k+2
Mais je ne vois pas quel rapport avec la question : est-ce que tu ne confondrais pas "=" avec "≡" ? Non hein ?

Quels sont les restes possibles de la division d'un nombre pair par 8 ?

la question est bien de montrer que toutes les solutions de n³+6n²+4n ≡ 0 [8] sont les n pairs
et c'est bien n=8k , n=8k+2 ....

Citation
et c'est bien n=8k , n=8k+2 ....Ta réponse est peu précise :
Les nombres de la forme 8k,8k+2,8k+4,8k+6 sont pairs.
Et aussi les nombres pairs sont tous de la forme 8k,8k+2,8k+4,8k+6.
Donc les solutions du problème ( les entiers n pour lesquels n³+6n²+4n ≡ 0 [8] ) sont "les" nombres pairs ( et pas seulement "des" nombres pairs ).

donc en fait je dois juste dire ca

mais faut il pas le montrer en faisant une application numerique ??

Tu rédiges comme tu le veux. L'important est que tu comprennes mes remarques.
Je résume :
(n+2)³ = n³+6n²+12n+8 , donc n³+6n²+4n = (n+2)³ -8n-8
-8n-8 est un multiple de 8 donc n³+6n²+4n ≡ 0 [8] ⇔ (n+2)³ ≡ 0 [8]
En regardant tous les cas, on voit que
(n+2)³ ≡ 0 [8] ⇔ n=8k,8k+2,8k+4, ou 8k+6
Ce qui équivaut à dire que n est pair, tous les nombres pairs étant de cette forme.

Oui jusque là j'ai compris je retrouve les mêmes résultats

Envoie un seul message à la fois.
Je n'avais pas vu celui-là :
Citation
mais faut il pas le montrer en faisant une application numérique ??
Un exemple numérique ne suffit pas puisque la propriété est vraie pour tous les nombres pairs.

Citation
je retrouve les mêmes résultatsQue veux-tu dire ?

que je retrouve n=8k , n=8k+2 , n=8k+4 , n=8k+6

Je "retrouve" signifie que tu as déjà trouvé avant : lorsque tu étudies toutes les possibilités : n ≡0 [8] , ... , n ≡ 7 [8] , tu vois celles qu'il faut conserver.
Il n'y a plus ensuite qu'à dire que ces nombres sont pairs et que les nombres pairs sont de cette forme.

oui tout à fait , je vous remercie beaucoup

De rien.