Déterminer les formes trigonométrique et algébrique d'un nombre complexe

Bonjour,

J'ai un problème pour effectuer cet exercice :

Determiner la forme trigonométrique, puis la forme algébrique du complexe

$7-3i/2-5i)^{2010}$

Je sais que la forme trigonométrique est z = r(cos teta+i sin teta)

Je commence à calculer le module de z (r) mais cela me donne :

√ $58^{2010}$ /√ $29^{2010}$

Et lorsque je le tappe à la calculatrice, cela ne marche pas

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour Tatiane

Commence par simplifier $\frac{7-3i}{2-5i}$ avec la méthode du conjugué.

Calcule |z| et arg(z)

Utilise ensuite :

| $z^n$ | = |z| $^n$

$arg(z^n$ ) = n arg(z)

Pour l'argument, il faudra trouver sa valeur principale.

Bonjour,
Citation
Je commence à calculer le module de z (r) mais cela me donne :

√ $58^{2010}$ /√ $29^{2010}$ Tu remarques que 58 = 2*29
Donc r = (√ $2)^{2010}$ = $2^{1005}$

J'ai simplifier z = (7-3i)/(2-5i). Cela me donne 1-i.

J'ai ensuite calculer z, cela me donne √2.

Est-ce bon ?

Mais ensuite je ne sais pas comment calculer l'argument. :frowning2:

Oui, donc en élevant à la puissance 2010, cela te donne bien $2^{1005}$ .

Pour l'argument, fais un dessin : dans le plan complexe place le point d'affixe 1-i : tu n'auras qu'à lire l'argument.

$fichier math$
Que vaut l'argument a ?

Tatiana
J'ai simplifier z = (7-3i)/(2-5i). Cela me donne 1
-i
Tu peux vérifier le signe de la partie imaginaire ?

5π/6 ?

Oui, il y a bien une erreur. Désolé.

$fichier math$

Non : regarde le dessin, donne la mesure en degrés puis en radians.

45° donc π/4 ?

Oui.
Tu as corrigé l'erreur sur z = 1+i, pas 1-i ?
Maintenant que tu as l'argument de z, tu peux trouver celui de $z^{2010}$ en utilisant la règle rappelée par Iron :
Citation
arg(z^n$) = n arg(z).

Toujours là ?
$arg(z^{2010}$ ) = 2010*π/4
Ca te fait tourner moult fois autour de O.
Heureusement que c'est modulo 2π.

Désolé de ne plus avoir répondu je n'avais plus accès à l'ordinateur.
Pouvez-vous me dire si mon résultat est juste ?
J'ai fini par trouver :

Forme trigonométrique :

z = $2^{1005}$ (cos(2010π/4)+isin(2010π/4))

Merci d'avance.

Citation
arg(z^{2010}$) = 2010π/4
Ca te fait tourner moult fois autour de O.
Heureusement que c'est modulo 2π.Il faut donc simplifier 2010π/4 modulo 2π.

1005π/2 ?

Oui, mais il faut prendre la détermination entre 0 et 2π
1005π/2 ≡ ?? [modulo 2π ]

Je suis perdue

Je prends un exemple plus simple :
8π/2 = 4π ≡ 0 modulo 2π ( c'est un multiple de 2π ).
9π/2 = 8*π/2 + π/2 ≡ 0 + π/2 modulo 2π

Fais pareil pour 1005π/2
1005π/2 = 1004*π/2 + π/2
Continue.

1005π/2 = 1004*π/2+π/2 = 0+π/2 modulo 2n ??

Oui.
Détaille : 1004π/2 = 502π = 251*(2π) ≡ 0 modulo 2π
Distingue bien le signe "=" du signe "≡" .

Donc cos ( 2010π/4) = cos (π/4) = ??
Et même chose pour le sinus.

√2/2 ?

Oui.
Ca te permet de simplifier ton écriture trigonométrique.

D'accord, merci beaucoup

De rien.