fonction exponentielle et équation differentielle



  • bonjour je voudrais savoir si j'ai fait des erreurs et j'aurais besoin d'aide pour la dernière question merci d'avance

    f est la fonction définie sur R par f(x)=x+5-eײ
    C est la courbe représentative de f dans un repère et T la tangente a C au point d'abscisse 0

    1a) démontrer qu'une équation de T est y=x+4

    on fait y =f'(0)(x+0)+f(0)

    f(0)=5-1=4
    f'(x)=1-2xeײ donc f'(0)=1

    y=1(x+0)+4=x+4

    1b) déterminer la position de la courbe C par rapport a T

    je fait la différence entre f(x) et y=x+4 et je trouve 1-eײ

    -eײ < 0 alors 1-eײ<0 comme la différence est négative alors la courbe est au dessous de la tangente

    1. déterminer le tableau de variation de la fonction f

    je ne sais pas comment faire de tableau sur le forum mais j'ai trouvé

    exercice 2

    1. soit (E) l'équation différentielle y'=3y

    prérequis : la fonction f(x)=e³× est solution de l'équation (E)

    Démontrer que toute solution de (E) est de la forme f(x)=ke³× ou k est une constante réelle

    on a la forme y'=ay avec a=3 donc les fonctions solutions sont de la forme f(x)=ke^ax k ∈ R et x∈ R donc f(x)=ke^3x k est une constante réelle

    1. soit (F) l'équation différentielle y'-3y=x+5

    a) déterminer a et b pour que la fonction affine f0(x)=ax+b soit solution de (F)

    -3(ax+b)=x+5
    a-3ax-3b=x+5
    -3a=1 a=-1/3

    -3b+a=5
    -3b-1/3=5
    -3b=16/3÷-3
    b=16/3×1/-3
    b=-16/9

    b)démontrer que f est solution de l'équation (F) si et seulement si la fonction f-f0 est solution de (E)

    y'-3y=0 avec y=f(x)-ax+b
    y'=f'(x)=0
    f'(x)-0-3(f(x)-ax-b))=0
    f'(x)-3f(x)+3ax+3b=0
    f'(x)-3f(x)=3ax+3b+a a=-1/3 b=-16/9
    f'(x)-f(x)=-3ax-3b-a
    =-3*-1/3x-3*-16/9+(-1/3)
    = x*16/3-1/3
    =x+5

    c) en déduire l'ensemble des solutions de l'équation (F)

    j'ai pas réussi



  • Bonsoir,

    si - eײ < 0 alors 1-eײ< 1
    résous $e^{x²}$= 1



  • pourquoi résoudre eײ=1



  • f(x) - y = 1 - $e^{x²}$
    Tu cherches le signe de f(x) - y
    La résolution de f(x) = y te permet de déterminer s'il existe un point ou f et T se coupe.



  • si - eײ < 0 alors 1-eײ< 1 c'est juste ?



  • Oui,

    C'est ce que j'ai noté dans mon premier post.
    C'est une propriété sur les inégalités.
    si x < b
    x + a < b + a



  • alors ma réponse est bonne mais sa me servira pour quelle question de résoudre eײ=1



  • C'est pour la question 1b, déterminer la position de la courbe C.



  • j'ai répondu a cette question j'ai dit que la courbe C est en dessous de T



  • eײ=1
    eײ=e0 car e0=1
    x²=0
    x=0



  • Oui, x = 0

    Tu montres que pour x >0 et x < 0 : f(x) - y = 1 - $e^{x²}$ < 0



  • les autre question sont juste sinon ? comment faire pour la derniere ?



    1. b)
      Si y = f(x) -(ax+b)
      y' = f'(x) - a

    c) f(x) = y + (ax+b)


 

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