fonction exponentielle et équation differentielle

bonjour je voudrais savoir si j'ai fait des erreurs et j'aurais besoin d'aide pour la dernière question merci d'avance

f est la fonction définie sur R par f(x)=x+5-e×²
C est la courbe représentative de f dans un repère et T la tangente a C au point d'abscisse 0

1a) démontrer qu'une équation de T est y=x+4

on fait y =f'(0)(x+0)+f(0)

f(0)=5-1=4
f'(x)=1-2xe×² donc f'(0)=1

y=1(x+0)+4=x+4

1b) déterminer la position de la courbe C par rapport a T

je fait la différence entre f(x) et y=x+4 et je trouve 1-e×²

-e×² < 0 alors 1-e×²<0 comme la différence est négative alors la courbe est au dessous de la tangente

déterminer le tableau de variation de la fonction f

je ne sais pas comment faire de tableau sur le forum mais j'ai trouvé

exercice 2

soit (E) l'équation différentielle y'=3y

prérequis : la fonction f(x)=e³× est solution de l'équation (E)

Démontrer que toute solution de (E) est de la forme f(x)=ke³× ou k est une constante réelle

on a la forme y'=ay avec a=3 donc les fonctions solutions sont de la forme f(x)=ke^ax k ∈ R et x∈ R donc f(x)=ke^3x k est une constante réelle

soit (F) l'équation différentielle y'-3y=x+5

a) déterminer a et b pour que la fonction affine f0(x)=ax+b soit solution de (F)

-3(ax+b)=x+5
a-3ax-3b=x+5
-3a=1 a=-1/3

-3b+a=5
-3b-1/3=5
-3b=16/3÷-3
b=16/3×1/-3
b=-16/9

b)démontrer que f est solution de l'équation (F) si et seulement si la fonction f-f0 est solution de (E)

y'-3y=0 avec y=f(x)-ax+b
y'=f'(x)=0
f'(x)-0-3(f(x)-ax-b))=0
f'(x)-3f(x)+3ax+3b=0
f'(x)-3f(x)=3ax+3b+a a=-1/3 b=-16/9
f'(x)-f(x)=-3ax-3b-a
=-3*-1/3x-3*-16/9+(-1/3)
= x*16/3-1/3
=x+5

c) en déduire l'ensemble des solutions de l'équation (F)

j'ai pas réussi

Bonsoir,

si - e×² < 0 alors 1-e×²< 1
résous $e^{x²}$ = 1

pourquoi résoudre e×²=1

f(x) - y = 1 - $e^{x²}$
Tu cherches le signe de f(x) - y
La résolution de f(x) = y te permet de déterminer s'il existe un point ou f et T se coupe.

si - e×² < 0 alors 1-e×²< 1 c'est juste ?

Oui,

C'est ce que j'ai noté dans mon premier post.
C'est une propriété sur les inégalités.
si x < b
x + a < b + a

alors ma réponse est bonne mais sa me servira pour quelle question de résoudre e×²=1

C'est pour la question 1b, déterminer la position de la courbe C.

j'ai répondu a cette question j'ai dit que la courbe C est en dessous de T

e×²=1
e×²=e0 car e0=1
x²=0
x=0

Oui, x = 0

Tu montres que pour x >0 et x < 0 : f(x) - y = 1 - $e^{x²}$ < 0

les autre question sont juste sinon ? comment faire pour la derniere ?

b)
Si y = f(x) -(ax+b)
y' = f'(x) - a

c) f(x) = y + (ax+b)