Demonstration de quelque propriété de vecteurs ..

Soient u, v et w trois vecteurs non nuls du plan, on pose u=OA, v=OB, et w=BC.
On appel B' et C' les projetés orthogonaux respectifs sur la droite (OA) des points B et C.
On pose B'C'= β*OB'

a) Faire une figure. ( J'y arrive mais pas trop .. )

b) Prouver que u.(v+w)=OA.OC'
puis que u.(v+w)=(1+α)OA.OB'

c)Montrer que u.v+u.w=OA.OB'+OA+B'C'
puis que u.v+u.w=(1+α)OA.OB'

d) En déduire que u.(v+w)=u.v+u.w

e)Prouver que
(u+v).w= u.w+v.w

Si vous pouvez m'éclairer ou quoi que ce soit ce serait bien je seche devant ca ..

Bonsoir,

Pour la figure :
Place les points O, A, B, C puis trace les vecteurs OA, OB et BC.
Ensuite place les points B' et C'.

Il manque une relation dans l'énoncé comprenant α.

NOn il ne manque rien ..
Peux tu me donne une voie ? une aide ?

As -tu fais un figure ?

v + w = OB + BC = OC
soit
u.(v+w) = ....

Oui j'ai fais une figure.
Donc Oc = OC' donc oui j'ai réussi a prouver que u.(u+w) = Oa.OC'
mais apres je ne trouve pas comment prouver les autre ..

Bonjour,
Le sujet a déjà été traité ici :

clique

b) u.(v+w)= OA.(OB+BC)
= OA.OC
= OA.OC'
Car C' est le projeté orthogonal de C sur la droite (OA).

u.(v+w)= (1+β) OA.OB
On sait que B'C'=β*OB':

⇔u.(v+w)= OA.OC'
⇔u.(v+w)= OA.(OB'+B'C')
⇔u.(v+w)= OA.OB'+(β*OB')
On factorise:
⇔u.(v+w)=OA.OB' (1+β)

c) u.v+u.w=OA.OB+OA.BC
= OA.OB'+OA.B'C'
Car B' et C' Sont les projetés orthogonaux de B et C sur (OA).

u.v+u.w= (1+β) OA.OB'
On sait que B'C'=βOB'
u.v+v.w=OA.OB'+OA.B'C'
= OA.OB'+OA.(βOB')
On Factorise:
= OA.OB' (β+1)

d) Comme u.(v+w)=(1+β)OA.OB'
et que u.v+u.w=(1+β) OA.OB'

On a donc u.(v+w)=u.v+u.w

e) On sait que les produits scalaires sont commutable donc:
(u+v).w= u.w +v.w
⇔w.(u+v)=w.u+w.v .

Je ne sais pas encore si c'est juste!

Oui, j'ai répondu sur ton premier sujet.

En fait ce n'est ps moi Ouaiouai, on est juste dans la meme classe!