Etudier la fonction f et tracer sa courbe

Bonjour

Je rencontre quelques problèmes pour faire un exercice, pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?

Voici l'énoncé :

On considère la fonction numérique g définie sur [0;1] par :
g(t)= (1-e^(-t))ln t pour 0<t≤1
et g(0)=0

Démontrer que lim quand t→0 de (1-e^(-t))/t = 1
Démontrer que g est continue sur [0;1]. Etudier la dérivabilité de g sur [0;1] etr démontrer que pour tout réel t de ]0;1] : g'(t)=(e^(-t))/t *(tlnt + e^t-1)
Soit la fonction numérique f définie sur ]0;1] par f(t)=tlnt + e^t - 1. Etudier le sens de variation et les valeurs aux bornes de f'. Montrer que f' s'annule une seule fois sur l'intervalle ]0;1] en un point t0 ( que l'on ne calculera pas ). En déduire le signe de f'(t) et le sens de variation de f sur ]0;1]. En déduire que f ne s'annule qu'une seule fois sur ]0;1] pour une valeur t1 ( que l'on ne calculera pas ).
Terminer l'étude de la fonction g. Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j) (unité 6 cm). On tracera la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. On admettra que t ≈ 0,31.

Pour la question 1, je dis que la limite en 0 de e^(-t)=1. Mais il faut que j'étudie de chaque côté de 0 non ?
Pour la question 2,
Continuité : je sais que e^(-t) est continue, donc 1-e^(-t) est continue et donc g est continue car quotient de fonctions continues, est-ce juste et assez précis ?
Dérivabilité : faut-il faire de même ?
g' : (u'v-uv')/v² = ((1-e^(-t))'t - ( (t)'(1-e^(-t)))/t² = -te^(-t)-1+e^(-t) ... et là je suis bloquée.
Pour la question 3, je sais qu'il faut faire la dérivée de f mais là je n'y arrive pas trop ..

Ca serait sympa de m'aider, merci

Bonjour,

Utilise la dérivabilité de la fonction $e^{-t}$
Pour la continuité, il faut vérifier que la limite en 0 est égale à g(0).