Démontrer des égalités en utilisant le barycentre

[Tonitoo]

Bonjour j'ais besoins d'aide sur cet exercice:

Soit ABC un triangle équilatéral de coté 4.

1. Soit G le centre de gravité de ABC.

a) Démontrer que vecteurs 2MA-MB-MC=3GA.

b) Démontrer que l'ensemble des points M du plan tels que ll MA+MB+MC ll = ll 2MA-MB-MC ll est le cercle circonscrit à ABC.

2. Soit H le barycentre de (A;1),(B;1),(C;2) et I le milieu de [AB].

a) Démonter que H est le milieu de [CI] .

b) Déterminer l'ensemble E des points M du plan tels que ll MA+MB+2MC ll ≤ 4√7.

c) Démonter que A et B appartiennent à E.

Voici ce que j'ais fait, je ne pense pas avoir juste donc j'apprecierais vraimment de l'aide de votre part .

a) (Vecteurs) 2MA - MB - MC = 3GA
2MA + MH = 3GA
3MK = 3GA

b) ll MA + MB + MC ll = ll 2MC - MB - MC ll
ll 3MG ll = ll 2MC + MH ll
ll 3MG ll = ll 3MK ll

[Noemi]

Bonsoir,

1. a) A quoi correspond les points H et K
   Ecris la relation entre le point G et les points A,B et C
   Puis utilise la relation de Chasles avec le point G dans 2MA - MB - MC
   b) Utilise le barycentre et la relation du a).

[Tonitoo]

est-ce 2MA - MB - MC = 3GM + 3MG ?

[Noemi]

Non

2MA - MB - MC = 2(MG+GA) - (MG + GB) - (MG+GC) =
....

Or
GA + GB + GC = ....

Donc
...

[Tonitoo]

merci de ta reponse

je trouve ceci mais je n'arrive pas a conclure:

2MA-MB-MC = 3 GA
2( MG+GA ) - (MG+GB ) - (MG+GC ) = 3GA
2MG + 2GA - MG - GB - MG - GC = 3GA
2GA - GB - GC = 3GA

je sis que GA + GB + GC = 0 mais je n'arrive pas a finir

[Iron]

Bonjour,

Ce n'est pas une équation, tu calcules simplement 2MA-MB-MC
(enlève les "=3 GA${}^{\to }$")

Citation
2MA-MB-MC =
2( MG+GA ) - (MG+GB ) - (MG+GC ) =
2MG + 2GA - MG - GB - MG - GC =
2GA - GB - GC =
= 2GA${}^{\to }$ - ( GB${}^{\to }$ + GC${}^{\to }$)

Avec GA${}^{\to }$ + GB${}^{\to }$ + GC${}^{\to }$ = 0${}^{\to }$
exprime GB${}^{\to }$ + GC${}^{\to }$ en fonction de GA${}^{\to }$

et remplace GB${}^{\to }$ + GC${}^{\to }$ par ton résultat dans l'expression

= 2GA${}^{\to }$ - ( GB${}^{\to }$ + GC${}^{\to }$)
tu pourras poursuivre

[Tonitoo]

merci
j'ais fait la suite mais je n'arrive pas la c)

[Noemi]

Quelle réponse as-tu trouvée pour l'ensemble E question 2 b) ?

[Tonitoo]

j'ai mis MG<√7

[Noemi]

Ce ne serez pas ll MH ll ≤ 4√7 ?
Quel est l'ensemble correspondant ?