limite de fonctions



  • Bonsoir,
    alors voilà j'étais en train de compléter mes fiches de math sur les démonstrations ROC, mais il me manque quelques explication

    *Je voudrais savoir comment trouve-t'on :
    lim x / (n+1)n+1(n+1)^{n+1}
    x→+∞

    je sais que la réponse doit être +∞ mais j'ignore comment l'expliquer

    Merci d'avance



  • Le 24 déc à 20h43 tu as de curieuses préoccupations 😉

    lim x / (n+1)n+1
    x→+∞
    puisque le dénominateur ne dépend pas de x, la variable n étant fixée, alors bien entendu cette fonction a la même limite que x, donc +∞

    as-tu correctement saisi l'expression de ta fonction ?



  • (oui, j'étais chez des amis pour le réveillon, et comme je n'ai pas d'accès à internet pour le moment, j'en ai profité pour poster sur ce forum, à y réfléchir maintenant j'aurais également trouvé ça curieux...)

    Enfin bon, merci pour votre réponse,
    oui je viens de comprendre maintenant pour la fonction
    merci beaucoup



  • Il y a également une limite usuelle dont je n'arrive pas à faire la démonstration :
    lim xx^nexe^x = 0
    x→-∞
    Je suppose qu'il faut procéder avec un changement de variable : voila ce que j'ai commencé à faire
    On pose X = -x
    et x = -X
    Ceci nous donne
    xx^nexe^x = (X)(-X)^neXe^{-X}
    d'ou
    xx^nexe^x = (X)n(-X)^n / eXe^X
    et maintenant je ne comprend comment continuer

    Merci d'avance



  • En fait cela repose sur la limite usuelle présupposée connue

    limt+ ettn\lim_{t \to + \infty} \ \frac{\text{e}^t}{t^n}
    qui s'exprime en disant que l'exponentielle impose sa limite à toute puissance à l'infini (l'exposant n étant fixé).

    Donc tu as presque vu que
    xnex=(x)nexx^n\text{e}^x = \frac{(-x)^n}{\text{e}^x}
    c'est-à-dire
    1ex(x)n\frac1{\quad \frac{\text{e}^x}{(-x)^n} \quad }

    En distinguant les cas où n est pair de ceux où il est impair, tu es donc réduite à déterminer la limite de
    1exxn\frac1{\quad \frac{\text{e}^x}{x^n}\quad }
    lorsque X tend vers ++\infty. En effet, tu as posé x=xx=-x.

    C'est alors qu'on retrouve bien 0, l'inverse d'une quantité infiniment grande étant bien entendu une quantité infiniment petite (au sens de : proche de 0).



  • ce que je ne comprend pas dans cette démonstration,
    c'est pourquoi choisir le cas où n est pair.



  • On ne choisit pas le cas pair : on distingue les deux cas. Si n est pair, alors l'expression est celle affichée, sinon c'est son opposé (propriété des puissances d'exposant impair) et le résultat est le même à la limite.

    C'était une bonne question.



  • Ah oui, j'ai compris...
    Merci

    Il y a également une autre limite usuelle dont je ne suis pas sure de la démonstration
    lim lnx/xnlnx/x^n = 0
    x→+∞

    Voici ce que j'ai essayé de faire :

    Soit f(x) = √x - lnx définie sur [1;+∞[

    Après avoir cherché la dérivé rt après l'avoir simplifié, on obtient :
    f'(x) = (√x - 2) / (2x)

    Maintenant, étude du signe de la dérivé
    f'(x) = 0 pour x = 4 (j'ai résolu l'équation)

    Après avoir établi le tableau de variation, je peux m'en servir pour la suite de la démonstration ...

    On constate que f(x) ≥ 0
    d'où √x - lnx ≥ 0
    et √x ≥ ln x

    De plus,
    comme x≥1
    lnx≥ln1 (car ln est croissante)
    d'où lnx≥0

    Ainsi, on obtient l'encadrement (ou inégalité) suivant(e)

    0 ≤ lnx ≤ √x
    0/xn0/x^nlnx/xnlnx/x^n ≤ √x/xnx/x^n
    (on ne change pas le signe car x > 0)

    Donc j'ai bien un encadrement pour la fonction dont je souhaite trouver la limite (une limite qui tend vers 0)
    Mais je ne comprend pas comment √x/xnx/x^n tend vers 0 quand x tend vers +∞

    Merci d'avance pour vos indications



  • Le nombre n étant supérieur à 1, tu peux comprendre √x/xnx/x^n comme √x/(x xn1x^{n-1}) = 1/(√x xn1x^{n-1}).



  • Merci beaucoup, j'ai compri

    Il me reste une dernière limite à démontrer :
    lim xnx^nlnx = 0
    x→0

    Voici ce que j'ai fais :

    xnx^nlnx = xn-x^nln(1/x)
    = (-ln (1/x)) / ((1/x)n((1/x)^n)

    On pose X = 1/x
    xnx^nlnx = -lnX / XnX^n

    lim 1/x = +∞
    x→0

    D'où lim X = +∞
    x→0
    lim -lnX/ XnX^n = 0
    X→+∞

    D'où lim xnx^nlnx = 0
    x→0

    Est-ce correct ?

    Merci d'avance



  • Bonjour,
    Si quelqu'un pouvait me dire ce qu'il en pense ?

    La démonstration est-elle correcte, ou bien y-at'il des erreurs de raisonnements ?



  • Juste préciser que x tend vers 0 par valeurs positives, donc X tend bien vers +∞.



  • ah oui ...
    merci beaucoup pour toutes vos indications 😄


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