limite de fonctions

Bonsoir,
alors voilà j'étais en train de compléter mes fiches de math sur les démonstrations ROC, mais il me manque quelques explication

*Je voudrais savoir comment trouve-t'on :
lim x / $n+1)^{n+1}$
x→+∞

je sais que la réponse doit être +∞ mais j'ignore comment l'expliquer

Merci d'avance

Le 24 déc à 20h43 tu as de curieuses préoccupations

lim x / (n+1)n+1
x→+∞
puisque le dénominateur ne dépend pas de x, la variable n étant fixée, alors bien entendu cette fonction a la même limite que x, donc +∞

as-tu correctement saisi l'expression de ta fonction ?

(oui, j'étais chez des amis pour le réveillon, et comme je n'ai pas d'accès à internet pour le moment, j'en ai profité pour poster sur ce forum, à y réfléchir maintenant j'aurais également trouvé ça curieux...)

Enfin bon, merci pour votre réponse,
oui je viens de comprendre maintenant pour la fonction
merci beaucoup

Il y a également une limite usuelle dont je n'arrive pas à faire la démonstration :
lim $x$ ^n $e^x$ = 0
x→-∞
Je suppose qu'il faut procéder avec un changement de variable : voila ce que j'ai commencé à faire
On pose X = -x
et x = -X
Ceci nous donne
$x$ ^n $e^x$ = $(- X)$ ^n $e^{-X}$
d'ou
$x$ ^n $e^x$ = $X)^n$ / $e^X$
et maintenant je ne comprend comment continuer

Merci d'avance

En fait cela repose sur la limite usuelle présupposée connue

$ettn\lim_{t \to + \infty} \ \frac{\text{e}^t}{t^n}$
qui s'exprime en disant que l'exponentielle impose sa limite à toute puissance à l'infini (l'exposant n étant fixé).

Donc tu as presque vu que
$xnex=(−x)nexx^n\text{e}^x = \frac{(-x)^n}{\text{e}^x}$
c'est-à-dire
$1ex(−x)n\frac1{\quad \frac{\text{e}^x}{(-x)^n} \quad }$

En distinguant les cas où n est pair de ceux où il est impair, tu es donc réduite à déterminer la limite de
$1exxn\frac1{\quad \frac{\text{e}^x}{x^n}\quad }$
lorsque X tend vers $+∞+\infty$ . En effet, tu as posé $x = - x$ .

C'est alors qu'on retrouve bien 0, l'inverse d'une quantité infiniment grande étant bien entendu une quantité infiniment petite (au sens de : proche de 0).

ce que je ne comprend pas dans cette démonstration,
c'est pourquoi choisir le cas où n est pair.

On ne choisit pas le cas pair : on distingue les deux cas. Si n est pair, alors l'expression est celle affichée, sinon c'est son opposé (propriété des puissances d'exposant impair) et le résultat est le même à la limite.

C'était une bonne question.

Ah oui, j'ai compris...
Merci

Il y a également une autre limite usuelle dont je ne suis pas sure de la démonstration
lim $lnx/x^n$ = 0
x→+∞

Voici ce que j'ai essayé de faire :

Soit f(x) = √x - lnx définie sur [1;+∞[

Après avoir cherché la dérivé rt après l'avoir simplifié, on obtient :
f'(x) = (√x - 2) / (2x)

Maintenant, étude du signe de la dérivé
f'(x) = 0 pour x = 4 (j'ai résolu l'équation)

Après avoir établi le tableau de variation, je peux m'en servir pour la suite de la démonstration ...

On constate que f(x) ≥ 0
d'où √x - lnx ≥ 0
et √x ≥ ln x

De plus,
comme x≥1
lnx≥ln1 (car ln est croissante)
d'où lnx≥0

Ainsi, on obtient l'encadrement (ou inégalité) suivant(e)

0 ≤ lnx ≤ √x
$0/x^n$ ≤ $lnx/x^n$ ≤ √ $x/x^n$
(on ne change pas le signe car x > 0)

Donc j'ai bien un encadrement pour la fonction dont je souhaite trouver la limite (une limite qui tend vers 0)
Mais je ne comprend pas comment √ $x/x^n$ tend vers 0 quand x tend vers +∞

Merci d'avance pour vos indications

Le nombre n étant supérieur à 1, tu peux comprendre √ $x/x^n$ comme √x/(x $x^{n-1}$ ) = 1/(√x $x^{n-1}$ ).

Merci beaucoup, j'ai compri

Il me reste une dernière limite à démontrer :
lim $x^n$ lnx = 0
x→0

Voici ce que j'ai fais :

$x^n$ lnx = $x^n$ ln(1/x)
= (-ln (1/x)) / $1/x)^n$ )

On pose X = 1/x
$x^n$ lnx = -lnX / $X^n$

lim 1/x = +∞
x→0

D'où lim X = +∞
x→0
lim -lnX/ $X^n$ = 0
X→+∞

D'où lim $x^n$ lnx = 0
x→0

Est-ce correct ?

Merci d'avance

Bonjour,
Si quelqu'un pouvait me dire ce qu'il en pense ?

La démonstration est-elle correcte, ou bien y-at'il des erreurs de raisonnements ?

Juste préciser que x tend vers 0 par valeurs positives, donc X tend bien vers +∞.

ah oui ...
merci beaucoup pour toutes vos indications