Devoir maison sur les nombres complexes.

Bonjour à tous, à toutes.
Voilà, j'ai un devoir maison à faire pendant ces vacances, mais je n'arrive pas à le faire entièrement.
Merci d'avance pour votre aide !

Dans la première partie de l'exercice, on nous demande de démontrer par récurrence que pour tout nombre complexe z non nul et tout entier naturel n, on a : arg $z^n$ ) = n * arg(z)
J'ai réussi à le faire.

Ensuite on nous demande de compléter les propriétés ci - dessous :
Soit z un nombre complexe non nul.

z est un réel positif si et seulement si arg (z) = 0 [2π]
z est un réel négatif si et seulement si arg (z) = π [2π]
z ∈ à iR (est un imaginaire pur) si et seulement si arg (z) = π/2 [2π] ou arg (z) = -π/2 [2π]

Est-ce correct ?

Pour la deuxième partie de l'exercice, voici l'énoncé et les questions que l'on nous donne, ainsi que ce que j'ai trouvé.
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (O ; u , v) avec u et v vecteurs. On désigne par E l'ensemble des points M d'affixe z tels que $z^3$ soit un nombre réel, positif ou nul.
L'objet de cet exercice est l'étude de l'ensemble E.

**1)a)**Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation z² + 2 z + 4 = 0 , puis mettre les solutions sous forme trigonométrique.

J'ai fait :
On pose delta = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * 4 = 4 - 16 = - 12
delta strictement négatif donc l'équation a deux solutions complexes :

z 1 = (-b - i√(-delta) ) / 2a = (-2-i√12)/2 = -1 + i * (-√12)/2
et z 2 = (-b + i√(-delta) ) / 2a = (-2+i√12)/2 = -1 + i * (√12)/2

Après pour les mettre sous forme trigonométrique, j'ai calculé le module et l'argument des deux solutions.

Pour z 1:
module ² : (x²+y²) = (-1)² + ( - √12/2)² = 1 + 12/4 = 1 + 3 = 4

module z 1 = 2
arg(z 1) = theta 1
avec cos theta 1 = -1/2 et sin theta 1 = -√3/2
d'où arg (z 1) = (-2π)/3

Donc la forme trigonométrique de z 1 est :
2 (cos (-2π/3) + i sin (-2π/3))

Pour z 2:
module ² : (-1)² + (√12/2)² = 1 + 12/4 = 1 + 3 = 4

module z 2 = 2
arg (z 2) = theta 2
avec cos theta 2 = -1/2 et sin theta 2 = √3/2
d'où arg (z 2) = 2π/3

Donc la forme trigonométrique de z 2 est :
2 (cos (2[π/3) + i sin (2π/3))

Pouvais-vous me dire si cela est juste ?

**b)**Démontrer que les images A et B des solutions appartiennent à l'ensemble E.

J'ai posé A d'affixe z 1 et B d'affixe z 2

D'où :
(z 1)³ = 2³(cos(3*(2π/3)) + i sin(3*(2π/3))) = 8
(z 2)³ = 8 grâce au même calcul
Or 8 est un réel positif donc A et B ∈ E

**2)**On suppose z 0 et on note un argument de z.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur pour que z3 soit un nombre réel positif.

J'ai mis que d'après la question 2)a) il suffit que theta = 0 pour que z³ soit un nombre réel positif.

**3)a)**Après avoir vérifié que le point O appartient à E, déduire des résultats précédents que E est la réunion de trois demi-droites que l'on déterminera.

J'ai mis que le point O a pour affixe z=0+0i=0 donc O ∈ E
Mais je n'arrive pas à montrer la deuxième partie de la question.

**b)**Construire, avec précision, les points A et B dans le plan complexe, en utilisant la forme trigonométrique de leurs affixes (la construction sera expliquée en détail), et représenter l'ensemble E.

Etant donné que je n'ai pas su répondre à la question précédente, je n'arrive pas à faire celle-ci.

Voilà, pouvez-vous m'aider s'il vous plait avec les questions que je n'ai pas réussi à faire, et vérifier si les résultats que j'ai trouvés sont corrects ?
Merci d'avance.

Bonjour,

Le début est juste.
√12/2 est simplifiable

pour la question 2 b), analyser les arguments obtenus précédemment.

Placer z1 et z2, puis rechercher les demi droites.

Oui, effectivement j'ai corrigé ensuite : √12/2 se simplifie en √3.

Pour la question 2)b), j'ai dit :

arg((z1)^3 ) = -2pi et arg((z2)^3) = 2pi
donc arg(z^3)=2pi [2pi]

Et on a montré dans le 2)a) de la partie A que :
z est un réel positif si et seulement si arg(z) = 0 [2pi] donc dans ce cas là, pour que z^3 soit un réel positif, il faut que arg(z^3) = 2pi [2pi]

Est-ce exact ?

arg(z^3) =0 [2pi]

D'accord, merci beaucoup.

Pour la question 3)a), j'ai dit que O avait pour affixe z=0, donc O appartient à E.

Pour les trois demi - droites, j'ai dit que l'axe (Ox) de 0 à +∞ était solution car pour que z^3 soit un réel positif, il faut que arg(z^3)=0 [2pi]

Pour les deux autres demi droites, j'ai dit que O, A et B ∈ E.
Or seul l'argument influe sur le fait que z^3 soit un réel ou non et soit positif ou non, étant donné que le module de z^3 est toujours positif puisqu'il s'agit d'une longueur.
Etant donné que tous les points de la demi droite [OA( ont le même argument que A et que A∈E, on peut donc en conclure que l'ensemble E contient la demi droite [OA( .
De même pour tous les points de la demi droite [OB( qui ont le même argument que B, B appartenant à E, l'ensemble E contient donc également la demi droite [OB(.

L'ensemble E est donc la réunion des trois demi droites [OA( [OB( et [Ox(.

Est ce que mon raisonnement est juste ?

C'est correct.

Merci beaucoup !

Dernière question

Pour pouvoir représenter les points A et B sur le graphique, il faut que je trouve leurs coordonnées.

J'ai trouvé A (2 ; -2 pi/3) et B(2 ; 2 pi/3)

Est-ce que c'est juste ?

C'est correct, place les points A et B.

C'est bon, après il me reste juste à relier les demi droites !

Merci beaucoup pour votre aide et votre temps !

Bonnes fêtes

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