Déduire la valeur de la dérivée en un point à partir de la tangente



  • Bonsoir, j'ai ici un exercice qui me pose un peu de mal...
    On a une fonction f définie sur ]-\infty;2[.
    On sait que : -Cf passe par le point A(0;-5) et la tangente à Cf en A est parallèle à l'axe des abscisses.
    -Cf passe par le point B(1;-4)
    -pour tout x<2, f(x)=(ax²+bx+c)/(x-2) où a, b et c sont des constantes réelles que l'on se propose de déterminer.

    1. Donner les valeurs de f(0), f'(0) et f(1)
      Bon ça c'est simple, f(0)=-5 (car A(O;-5)), f'(0)=-5 (car la tangente à Cf en A est parallèle à l'axe des abscisses) et f(1)=-4 car (B(1;-4).
    2. En déduire alors les valeurs de a, b et c
      Alors là je ne sais pas du tout comment faire 😕 Si quelqu'un pouvait me donner une piste, ce serait sympa...

    Merci



  • Bonsoir,

    Si la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, c'est que sa pente est ....
    donc f'(0) = .....
    Pour la question 2), tu utilises les résultats de la question 1 pour écrire des équation en fonction de a, b et c
    f(0) = -5 donne (0+0+c)/(0-2) = -5, soit ....



  • Ah oui j'ai eu faux, f'(0)=0.

    Sinon pour la 2), on fait f(0)=(O+O+c)/(O-2)=-5, donc c=-5(O-2)=10.
    Ensuite on fait f(1)=-4, donc (a+b+10)/(1-2)=-4, d'où a+b+10=4, donc a+b=-6, donc a=-2 et b=-4.
    On a au final (-2x²-4x+10)/(x-2), c'est correct ?
    Merci



  • Le passage de a+b=-6, aux solutions a=-2 et b=-4 est faux.
    Utilise le fait que f'(0) = 0 pour trouver une autre équation?



  • Bonjour,
    Alors si f'(0)=0 et que la tangente à Cf en A(0;-5) est parallèle à l'axe des abscisses ; on a T : y=-5. Donc -5=0x+b, donc b=-5.
    Après on utilise f(1)=-4. Donc on a -4=(a-5+10)/(1-2), donc 4=a-5+10 donc a =-1.
    Au final on a (-x²-5x+10)/(x-2).
    Cette formule est conforme à la courbe que l'on a dans l'énoncé (je ne l'ai pas mise car je n'ai pas réussi), donc je pense que c'est bon...



  • Non,
    pour la démonstration,
    calcule f'(x)



  • Ah okay, je crois que j'ai trouvé.
    On calcule f'(x) en fonction de a, b et c. Donc on a f(x)=u(x)/v(x), ((a2x+b)(x-2)-1(ax²+bx+c))/(x-2)²=(ax²-2a2x-2b-10)/(x-2)².
    On a f'(0)=0, donc (0-0-2b-10)/4=0, -2b=10 donc b=-5.
    Ensuite, on a f(1)=-4 donc (a-5+10)/(-1)=-4, donc a=-1.
    Voilà je retrouve le même résultat mais en effet la démonstration est meilleure.



  • C'est correct.



  • Merci 😄


 

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