Faire l'étude d'une fonction exponentielle

Bonsoir.

Voilà, je viens vous poster un exercice sur les exponentielles que j'ai a réaliser, tout simplement parceque j'ai énormément de mal en mathématiques depuis l'année dernière, et je suis en train de "couler" petit à petit..

Inutile de vous dire que si je vous poste mon exo, c'est pour recevoir votre aide, vos conseils, qui ne peuvent m'être que bénéfiques.

Voici l'intitulé :

On considère la fonction f définie, pour tout nombre réel x, par f(x) = (4 - e^x) / (1 + e^x).

Soit C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O; vecteur i, vecteur j.), d'unité graphique 2 cm. La courbe C est représentée sur la figure en annexe.

Déterminer la limite de f en - infini. Que peut-on dire graphiquement pour (C) ?

2a) Déterminer la limite de f en + infini. (On pourra vérifier que, pour tout nombre réel x, on a f(x) = (4 e^-x - 1) / (e^-x + 1). Que peut-on déduire graphiquement pour (C) ?

2b) Justifier que f est dérivable sur $mathbb{R}$

3a) Déterminer, pour tout nombre réel x, f ' (x) où f ' désigne la fonction dérivée de f. Etudier le signe de f ' . En déduire le tableau de variation de f sur l'ensemble des nombres réels $mathbb{R}$

3b) Calculer f " (x). Vérifier que son signe est celui de x.

4a) Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de (C) avec l'axe des ordonnées.

4b) Résoudre dans $mathbb{R}$ l'équation 4 - e^x = 0. En déduire que (C) coupe l'axe des abscisses en un point B donc on déterminera les coordonnées.

4c) Montrer que f(x) + f( -x ) = 3 pour tout x réel. Que dire de A ?

Montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0; ln 4], on a f(x) ≥ 0.
Donner une équation de la tangente en A.
Placer les points A et B, puis tracer les droites asymptotes de (C) sur la figure en annexe à joindre à la copie. Tracer la tangente $T_a$ )

Voilà, ceci est l'énoncé.. Et je n'arrive déjà pas à calculer une "simple" limite.. Bref..

Je vous envoie également l'image de la courbe..

En espérant que vous veuillez m'aider, et en vous remerciant, d'avance, très largement..

$fichier math$

Bonsoir,

Quelle est la limite de $e^x$ quand x tend vers -∞ ?

Celle ci est égale à 0, non ?

Oui,
donc (4 - e^x) / (1 + e^x) tend vers (4-0)/(1+0)
soit .....

Soit 4.. Effectivement..

oui 4
et si f(x) tend vers a quand x tend vers ∞, alors y = a est ....

Euh.. une asymptote ?

Oui,

Pour le 2 a) vérifie l'écriture donnée pour f(x) et calcule la limite.

D'accord.
Pour la première question, simplement dire qu'il s'agit d'une asymptote est suffisant ?

oui précise asymptote horizontale.

D'accord, Merci.

Après, pour la 2a)

Alors, lim ((4 - e^x)) = + infini ?
et lim (1 + e^x) = + infini aussi ?

On aurait alors ici une FI ?

Oui,

mais utilise :
f(x) = (4 e^-x - 1) / (e^-x + 1)
avec lin $e^{-x}$ = ..... si x tend vers +∞

f(x) = (4 e^-x - 1) / (e^-x + 1)

avec lim e^-x = 0 ?! si x tend vers + ∞ ?!

Oui,

donc la limite est .....

On aurait donc une limite de -(1) / (1)

f(x) aurait donc une limite de -1 quand x tend vers + ∞ ?

Si c'est le cas, on peut en déduire que (C) est dotée d'une asymptote horizontale en -1 ?!

C'est correct.

D'accord.

2b) f étant strictement positif, le dénominateur ne pouvant s'annuler, on peut ainsi dire que f est dérivable sur $mathbb{R}$ ?!

Pour la dérivabilité, utilise une propriété donnée dans le cours.

La fonction exp est strictement positive sur $mathbb{R}$ et strictement croissante sur $mathbb{R}$ . Celle ci est donc dérivable sur $mathbb{R}$ .

Et pour la fonction f ?

Ben, la fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur $mathbb{R}$ ; solution de l'équation différentielle y' = y et prenant la valeur 1 en 0.

Pour f, étant donnée qu'on ne peut pas annuler le dénominateur, celle-ci est dérivable ?!

La fonction f est de la forme g/h avec g et h deux fonctions dérivables et h >0, donc f .....

donc f est bien dérivable sur $mathbb{R}$ ?!

Mais je n'ai pas de définition comme cela dans mon cours..

Par contre, que devons-nous faire pour vérifier que
f(x) = (4 e^-x - 1) / (e^-x + 1) ?!

Dans l'expression de f du départ, mets $e^x$ en facteur.

D'accord.

Pour la 3a),
Pour f'(x), nous avons :

((-e^x)(1+e^x) - (4 - e^x)(e^x)) / (1 + e^x)²

Est-ce correct ?

c'est correct, développe et simplifie.

Alors, en développant :

e^x - (e^x)² - (4 e^x - (e^x)²) = - 5 e^x ?!

Alors, en développant :

e^x - (e^x)² - (4 e^x - (e^x)²) = - 5 e^x ?!

oui,

donc écris la dérivée.

On a alors f ' (x) = - 5 e^x ?!

Après, nous devons étudier le signe.

On peut constater que la dérivée est de signe négatif ?

Tu as oublié le dénominateur.

Mince !

( - 5 e^x) / (1 + e^x)²

Sachant que le dénominateur est strictement positif, et que le numérateur est négatif, on peut alors dire que le signe de la dérivée est négatif ?!

Exact.

D'accord.

Comment devons-nous faire pour réaliser la Q4) alors ?

a) : On doit résoudre l'équation y = f(x) ?
b) : Ici, je trouve ln 4 ?!
c) : J'ai du mal poru simplifier..

Je me suis arrêté à (4 - e^x) / (1 + e^x) + (4 - 1/e^x) / (1 + 1/e^x) ..

Je n'ai pas réussi le reste..

Pour la question 4 a) , c'est l'intersection avec l'axe des ordonnées, donc x = 0.
Soit y = ....
Pour b, x = ln4 est juste d'ou les coordonnées du point B ....
c) Calcule la somme f(x) + f(-x) = ....

Pour la 4a), y est est égal a f(0) ?

Le point B aurait donc pour coordonnées x = ln 4 et y = 0 ?

Nous n'avons pas besoin de justification pour cela ?

J'ai réussi à faire le calcul.

Mais après, je ne sais pas ce que nous pouvons dire du point A ?

5 ) Après, on nous demande de démontrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle [ 0 ; ln 4 ], on a f(x) ≥ 0.

Sachant, que le point B est l'intersection de (C) avec l'axe des abscisses à x = ln 4 , et que A est le point d'intersection de (C) avec l'axe des ordonnées à y = f(0) = 3 / 2 ; on peut dire que sur l'intervalle [ 0 ; ln4 ], on a bien f(x) ≥ 0
Après, pour la tangente, on doit calculer f ' (3/2) et f ( 3/2 ) ?

Pour le 4 a) c'est bien f(0), donc A(0;3/2)
Pour B (ln4;,0) tu utilises la résolution de f(x) = 0

c) centre de symétrie ?

Ah Oui !

C'est pour cela que nous devons calculer f " .

Mais nous n'avons pas besoin de le (re)justifier ?!

Donc après, pour le bon B, nous aurions ((4 - e^x) / (1 + e^x)) = 0

Mais bon, je ne sais pas vraiment résoudre cela..

C'est la résolution de (4 - e^x) = 0.