Déterminer la tangente d'une courbe en un point donné

Bonjour, voilà j'ai besoin d'aide avec cet exercice, j'ai un peu de mal et
je ne suis pas sur de ce que j'ai fait donc j'aurai besoin d'in peu d'aide

f est la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)= 2/x
H est l'hyperbole qui représente f dans un repère orthonormé. Construire H.

1- Soit M le point de H d'abscisse 2. Calculer f'(2) et déterminer l'équation de la tangente à H en M.
Cette tangente coupe les axes de coordonées en A et B. Calculer les coordonées de ces points et montrer que M
est le milieu de [AB]
2- Soit N le point de H d'abscisse u ( u>0). Ses coordonnées sont donc N(u, 2/u)
Calculer f'(u) en fonction de u. Et déterminer l'équation de la tangente à H en N.
Cette tangente coupe les axes de coordonnées en A' et B'. Calculer les coordonnées de ces points en
fonction de u et montrer que N est le milieu de [A'B']
3- Montrer que le produit OA'*OB' est constant quel que soit la position de N sur H.

1- f'(2)
=[f(2+h)-f(2)]/h
=[(2/2+h)-2/2]/h
=[(2*2)/((2+h)*2-(2(2+h))/(2(2+h)]*1/h
=[(4/4+2h)-(4+2h)/(4+2h)]*1/h
=[4-4+2h/4+2h]*1/h
=[2h/4+2h]*1/h
=2h/(4+2h)h
=2/4+2h
lim [f(2+h)-f(2)]/h= lim 2/4+2h=1/2
h->0 h->0
Je trouve 1/2 mais je suis censée trouvée -1/2 mais je ne vois pas où je me suis trompé.

La tangente à H en M a pour équation y= -1/2x+p
Elle passe par M(2;1)
1=(-1/2)*2+p
1=-2/2+p
1=-1+P
1+1=p
2=P
Donc y=-1/2+2
L'équation de la tangente est donc y=-1/2x+2

J'ai trouvé comment calculer A et B, enfin je pense.
On a A(x;y) qui coupe laxe des ordonnées donc A(0;y)
Donc on remplace par a dans l'équation de la tangente à H en M:
y= -1/2 * O +2
y=2
Donc A(0;2)

Ensuite B(x;y) coupe laxe des abscisses donc B(x;0)
Donc on remplace dans l'équation de la tangente à H en M:
0=-1/2x+2
0-2=-1/2x
-2=-1/2x
-2*2=-x
-4=-x
4=x
Donc B(4;0)

Ensuite on calcule le milieu de [AB]:
I(xA+xB/2;yA+yB/2)
I(0+4/2;2+0/2)
I(4/2;2/2)
I(2;1)

Et le point M a pour coordonnée (2;1) Donc le point M est bien milieu de [AB]
Donc voila pour la question 1.

2- f'(u)
=[f(u+h)-f(u)]/h
=[(2/u+h)-2/u]/h
=[(2u/(u+h)u-(2(u+h)/u(u+h)]*1/h
=[(2u/u²+hu)-(2u+2h/u²+uh)]*1/h
=[2u-2u+2h/u²+hu]*1/h
=2h/u²+hu]*1/h
=2h/(u²+hu)h
=2/u²+hu
=lim [f(u+h)-f(u)]/h= lim 2/u²+hu= 2/u²+u
h->0 h->0

Je ne pense pas que ce soit sa car normalement je devré trouvé -2/u²+u

Ensuite pour la tangente:
La tangente à H en N a pour équation y=-2/u²+u
Elle passe par N(u; 2/u)
2/u= (-2/u²+u)u +p
2/u= (-2u/u²+u)+p
(2/u)+(-2u/u²+u)=p
[2(u²+u)/u(u²+u)]+[-2uu/(u²+u)*u]=p
(2u²+2u/u³+u²)+(2u²/u³+u²)=p
2u²+2u+2u²/u³+u²=p
4u²+2u/u³+u²=p
Donc y= (-2/u²+u)x+(4u²+2u/u³u²)
Ainsi, je ne sais pas si c'est cela et de plus je ne sais pas comment calculer les coordonnée de A' et B'.

Merci de bien vouloir m'aider

Bonjour,

Erreur de signe au début :
[(4/4+2h)-(4+2h)/(4+2h)]*1/h
=[4-4-2h/4+2h]*1/h
= ...

Même erreur pour f'(u)

Merci , donc cela serai:
1- f'(2)
=[f(2+h)-f(2)]/h
=[(2/2+h)-2/2]/h
=[(2*2)/((2+h)*2-(2(2+h))/(2(2+h)]*1/h
=[(4/4+2h)-(4+2h)/(4+2h)]*1/h
=[4-4-2h/4+2h]*1/h
=[-2h/4+2h]*1/h
=-2h/(4+2h)h
=-2/4+2h
lim [f(2+h)-f(2)]/h= lim -2/4+2h=-1/2
h→0

2- f'(u)
=[f(u+h)-f(u)]/h
=[(2/u+h)-2/u]/h
=[(2u/(u+h)u-(2(u+h)/u(u+h)]*1/h
=[(2u/u²+hu)-(2u+2h/u²+uh)]*1/h
=[2u-2u-2h/u²+hu]*1/h
=-2h/u²+hu]*1/h
=-2h/(u²+hu)h
=-2/u²+hu
=lim [f(u+h)-f(u)]/h= lim -2/u²+hu= -2/u²+u
h→0

Parcontre la tangente de H à N, est-ce qu'on peut la tracé car je sais pas si cela est possible vu que u est inconu

Tu ne peux pas tracer la tangente mais tu peux calculer les coordonnées des points d'intersection avec les axes.

3- Montrer que le produit OA'*OB' est constant quel que soit la position de N sur H.

Comment fait-on pour calculer cela?

Merci

Quelles sont les coordonnées de A' et B' ?