Tangente



  • Bonjour, voilà j'ai besoin d'aide avec cet exercice, j'ai un peu de mal et
    je ne suis pas sur de ce que j'ai fait donc j'aurai besoin d'in peu d'aide

    f est la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)= 2/x
    H est l'hyperbole qui représente f dans un repère orthonormé. Construire H.

    1- Soit M le point de H d'abscisse 2. Calculer f'(2) et déterminer l'équation de la tangente à H en M.
    Cette tangente coupe les axes de coordonées en A et B. Calculer les coordonées de ces points et montrer que M
    est le milieu de [AB]
    2- Soit N le point de H d'abscisse u ( u>0). Ses coordonnées sont donc N(u, 2/u)
    Calculer f'(u) en fonction de u. Et déterminer l'équation de la tangente à H en N.
    Cette tangente coupe les axes de coordonnées en A' et B'. Calculer les coordonnées de ces points en
    fonction de u et montrer que N est le milieu de [A'B']
    3- Montrer que le produit OA'*OB' est constant quel que soit la position de N sur H.

    1- f'(2)
    =[f(2+h)-f(2)]/h
    =[(2/2+h)-2/2]/h
    =[(2*2)/((2+h)*2-(2(2+h))/(2(2+h)]*1/h
    =[(4/4+2h)-(4+2h)/(4+2h)]*1/h
    =[4-4+2h/4+2h]*1/h
    =[2h/4+2h]*1/h
    =2h/(4+2h)h
    =2/4+2h
    lim [f(2+h)-f(2)]/h= lim 2/4+2h=1/2
    h->0 h->0
    Je trouve 1/2 mais je suis censée trouvée -1/2 mais je ne vois pas où je me suis trompé.

    La tangente à H en M a pour équation y= -1/2x+p
    Elle passe par M(2;1)
    1=(-1/2)*2+p
    1=-2/2+p
    1=-1+P
    1+1=p
    2=P
    Donc y=-1/2+2
    L'équation de la tangente est donc y=-1/2x+2

    J'ai trouvé comment calculer A et B, enfin je pense.
    On a A(x;y) qui coupe laxe des ordonnées donc A(0;y)
    Donc on remplace par a dans l'équation de la tangente à H en M:
    y= -1/2 * O +2
    y=2
    Donc A(0;2)

    Ensuite B(x;y) coupe laxe des abscisses donc B(x;0)
    Donc on remplace dans l'équation de la tangente à H en M:
    0=-1/2x+2
    0-2=-1/2x
    -2=-1/2x
    -2*2=-x
    -4=-x
    4=x
    Donc B(4;0)

    Ensuite on calcule le milieu de [AB]:
    I(xA+xB/2;yA+yB/2)
    I(0+4/2;2+0/2)
    I(4/2;2/2)
    I(2;1)

    Et le point M a pour coordonnée (2;1) Donc le point M est bien milieu de [AB]
    Donc voila pour la question 1.

    2- f'(u)
    =[f(u+h)-f(u)]/h
    =[(2/u+h)-2/u]/h
    =[(2u/(u+h)u-(2(u+h)/u(u+h)]*1/h
    =[(2u/u²+hu)-(2u+2h/u²+uh)]*1/h
    =[2u-2u+2h/u²+hu]*1/h
    =2h/u²+hu]*1/h
    =2h/(u²+hu)h
    =2/u²+hu
    =lim [f(u+h)-f(u)]/h= lim 2/u²+hu= 2/u²+u
    h->0 h->0

    Je ne pense pas que ce soit sa car normalement je devré trouvé -2/u²+u

    Ensuite pour la tangente:
    La tangente à H en N a pour équation y=-2/u²+u
    Elle passe par N(u; 2/u)
    2/u= (-2/u²+u)u +p
    2/u= (-2u/u²+u)+p
    (2/u)+(-2u/u²+u)=p
    [2(u²+u)/u(u²+u)]+[-2u
    u/(u²+u)*u]=p
    (2u²+2u/u³+u²)+(2u²/u³+u²)=p
    2u²+2u+2u²/u³+u²=p
    4u²+2u/u³+u²=p
    Donc y= (-2/u²+u)x+(4u²+2u/u³u²)
    Ainsi, je ne sais pas si c'est cela et de plus je ne sais pas comment calculer les coordonnée de A' et B'.

    Merci de bien vouloir m'aider 🙂


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Erreur de signe au début :
    [(4/4+2h)-(4+2h)/(4+2h)]*1/h
    =[4-4-2h/4+2h]*1/h
    = ...

    Même erreur pour f'(u)



  • Merci , donc cela serai:
    1- f'(2)
    =[f(2+h)-f(2)]/h
    =[(2/2+h)-2/2]/h
    =[(2*2)/((2+h)*2-(2(2+h))/(2(2+h)]*1/h
    =[(4/4+2h)-(4+2h)/(4+2h)]*1/h
    =[4-4-2h/4+2h]*1/h
    =[-2h/4+2h]*1/h
    =-2h/(4+2h)h
    =-2/4+2h
    lim [f(2+h)-f(2)]/h= lim -2/4+2h=-1/2
    h→0

    2- f'(u)
    =[f(u+h)-f(u)]/h
    =[(2/u+h)-2/u]/h
    =[(2u/(u+h)u-(2(u+h)/u(u+h)]*1/h
    =[(2u/u²+hu)-(2u+2h/u²+uh)]*1/h
    =[2u-2u-2h/u²+hu]*1/h
    =-2h/u²+hu]*1/h
    =-2h/(u²+hu)h
    =-2/u²+hu
    =lim [f(u+h)-f(u)]/h= lim -2/u²+hu= -2/u²+u
    h→0

    Parcontre la tangente de H à N, est-ce qu'on peut la tracé car je sais pas si cela est possible vu que u est inconu


  • Modérateurs

    Tu ne peux pas tracer la tangente mais tu peux calculer les coordonnées des points d'intersection avec les axes.



  • 3- Montrer que le produit OA'*OB' est constant quel que soit la position de N sur H.

    Comment fait-on pour calculer cela?

    Merci


  • Modérateurs

    Quelles sont les coordonnées de A' et B' ?


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