Exercice fonction exponentielle ( balle )

Bonjour, voici mon problème :

d ) Soit h la fonction qui exprime la hauteur de la taille de la balle en fonction du temps.
On admet que h(t) = 325 ( 1 - e^(-0,2t)) - 50t

Vérifier que h'(t) = v(t) et h(0) =0
En utilisant les réponses de la question c, étudier les variations de h
Tracer la représentation graphique de h.
Déterminer une approximation de la hauteur maximale atteinte par la balle.
En utilisant le graphique, déterminer le temps t1, que met la balle pour revenir sur le sol depuis son point le plus haut.
Comparer t0 et t1.

Donc voici ce que j'ai fais :
Pour trouver la dérivé de h j'ai développé puis j'ai utilisé les formules appris en cours et j'ai bien trouvé que h'(t)=v(t)
Puis j'ai calculé h(0)= 325 * 0 - 0 car e^0 = 1
donc h(0) = 0

Et par la suite comme on sait donc que h'(t) = v(t)
J'ai dis que puisque v(t) est décroissante alors h'(t) < 0 donc h(t) est décroissante.
Cependant je ne suis pas sur que ce soit comme cela qu'on doit démontrer les variations de h.

Et je n'ai pas compris comme faire la suite c'est à dire les 3 dernières questions, donc si quelqu'un pourrait m'aider

Merci d'avance.

PS : Voici les données que j'ai trouvé pour les questions avec v(t)
J'ai trouvé que v(t) était décroissante sur [0,3] et que f(0)=15 et f(3)= -14,325
v(t) = 65e^(-0,2t) - 50 ( donnée dans l'énoncé )
v'(t) = -13e(0,2t)

Bonjour,

Si h'(t) = v(t), utilise le signe de v(t) pour donner le signe de h'(t) donc de déduire les variations de h.

Donc puisque que v(t) est positif de 0 à t0 et négatif de t0 à 3
alors h'(t) sera positif puis négatif donc h est une fonction croissante puis décroissante ?

C'est correct.

D'accord. Donc pour le graphique cela semble logique ...

Mais Comment déterminer une approximation de la hauteur maximale atteinte par la balle ?

Et En utilisant le graphique, déterminer le temps t1, que met la balle pour revenir sur le sol depuis son point le plus haut ?

Pour la hauteur maximale, utilise le graphique ou résous v(t) = 0.

D'accord cela permet donc de déterminer la hauteur sans le graphique, mais quand il faut trouver t1 que met la balle pour revenir au sol depuis son point le plus haut, graphiquement je ne comprends pas ce qu'on doit faire ... regarder le point le plus haut ?

T1 c'est le temps que mets la balle quand elle est au point le plus haut (donc au sommet de ta parabole) jusqu'au moment ou elle touche le sol (ça, ça correspond à la 2ème racine de ta parabole) - donc tu dois regarder sur ton axe X le temps écoulé entre ces 2 points

Exemple (attention, celà ne correspond pas aux données de ton problème c'est juste pour te donner un exemple)
Si le sommet de ta parabole est le point (2;5) et si la racine qui suit est (8;0) et bien le temps est 8-2 = 6 sec

AH D'ACCORD ! J'ai trouvé
Merci beaucoup pour l'aide apportée

Mais de rien... ,n'oublie pas de comparer t0 et t1...

Oui en comparant les 2 résultats on peut dire que t0 est égale à t1

exactement... Car la droite verticale comprenant le sommet est un axe de symétrie de la parabole.

Bien joué...
Bonne soirée !