Famille de fonctions (suites)

Bonjour, voici un exercice dont il m'est un peu difficile à débuter:

On considère la famille de fonctions définies sur l'intervalle [0;1] par:
$f$ _n $em>x</em>)=<em>x</em>^3$ +n**x²-1 où n∈ IN.

1.a. Etudier la fonction $f_n$ sur cet intervalle I=[0;1].
b. Justifier que la fonction $f_n$ s'annule une et une seule fois sur l'intervalle I.
On note $a_n$ le seul réel de cet intervalle tel que $f$ _n $a_n$ )=0. Déterminer $a_0$ et $a_1$ .
c. Déterminer le signe de $f_n$ (x) sur I selon* x*.

Montrer que $f$ _{n+1} $(a$ _n $a_n$ ². En déduire que la suite (an) est décroissante.
On admet que la suite $a_n$ ) converge vers un réel L.
a.Quelle est la justification théorique de $lim⁡x→+∞\lim_{x\rightarrow +\infty }$ $a_n$ ²=L² ?
b. Justifier que $a_n$ ² $= (1 - a$ _n $^3$ )/n.
En prenant la limite, quand n tend vers +∞, des deux membres, en déduire la valeur de L.
c. Pour n≠0, calculer, en fonction de* n*, $f_n$ (1/√n)
En déduire que,∀n IN*, 0≤ $a_n$ ≤1/√n. Retrouver alors la valeur de L.

Pour la question 1.a., j'aimerai savoir si on doit tenir compte du n de $f_n$ (x) ou pas ?
Je ne sais pas comment m'y prendre, car le n de $f_n$ (x) me "gêne"...
Merci d'avance pour votre aide, quelques indices seraient la bienvenue.
(Je ne cherche pas les réponses, mais à comprendre)

Bonjour,

Oui étudie $f_n$ (x)
calcule la dérivée, puis étudie les variations.

1.a. Pour la dérivée je trouve $f_n$ '(x)=3x² (car n∈ IN)
par conséquent entre [0;1], le signe de $f_n$ '(x) est positif est s'annule en 0, donc $f_n$ (x) est croissant sur I.

Pour les limites, je calcule les limites en 0 et 1 ?

lim $f_n$ (x) quand x→0= -1 et lim $f_n$ (x) quand x →1=n.

La dérivée est 3x² + 2nx

1.a.Donc le signe de $f_n$ '(x) est positif est s'annule en 0
$f_n$ (x) est croissante sur I.
b. $f_n$ s'annule une et une seule fois sur I car x≥0 et $f_n$ (x) est strictement croissante sur I.

Détermine $a_0$ et $a_1$

Je n'ai pas bien compris cette partie de la question.
D'après les calculs que j'ai effectué, $a_0$ =-1 et $a_1$ =n...

c. si x>0, $f_n$ (x)>0 et si x=0 alors $f_n$ (x)=0.

pour la 3.c., j'ai trouvé $f_n$ (1/√n)=√n/n².

Indique tes calculs pour $a_0$ et $a_1$ .

Eh bien pour $a_0$ j'ai remplacé x par 0 et pour $a_1$ j'ai remplacé x par 1. Mais je pense pas que ce soit bon...

Ou bien dois-je faire pour $a_0$ $x^3$ +xn²-1=0 et de la manière pour $a_1$

Ce n'est pas x mais n, car $a_n$
donc pour $a_0$ , n = 0.

Ah d'accord donc si je comprends bien,
pour $a_0$ je trouve $^3$ -1 et $a_1$ = $x^3$ -x²-1.

Ecris $f$ _n $a_n$ ) = ....

$f$ _n $(a$ _0 $x^3$ -1
$f$ _n $(a$ _1 $x^3$ -x²-1

c. si x>0, fn(x)>0 et si x=0 alors fn(x)=0.

pour la 3.c., j'ai trouvé fn(1/√n)=√n/n².

Si x > 0, $f_n$ (x) > -1

AH d'accord merci.
Pour la 2., je ne sais pas comment m'y prendre...
Dois-je faire un raisonnement par récurrence ?
Donc $f$ _n $(a$ _0 $x^3$ -1
$x^3$ -1)² $x^3$ -2x² $- 1 = f$ _n $a_1$ ).
Donc pour $a_0$ , c'est vrai.
Mais ensuite je bloque...

Pour la question 2, exprime $f_{n+1}$ et remplace x par $a_n$

Euh je ne comprends pas... $f$ n$${+1}$(a $_n$ )=a $_n$ $^3$ +na_n$²-1 ?

Si $f_n$ (x)=x³+nx²-1
$f_{n+1}$ =x³+(n+1)x²-1
Tu remplaces x par $a_n$

J'ai fait $f$ _{n+1} $(a$ _n $) = a$ _n$$^3$+(n+1)a_n$²-1
Je trouve $a$ _n $^3$ -n-1...

Utilise le fait que $f$ _n $a_n$ )=0

J'ai un peu de mal à vous suivre :s
ça veut dire que $a$ _n$$^3$-na_n$²-1=0
Je ne sais pas du tout comment m'y prendre...

De l'équation de $f$ n $a_n$ ) on doit passer à $f$ {n+1} $a_n$ ) mais je sais pas comment m'y prendre... Est-ce ça ?

$f$ _{n+1} $(a$ _n $) = a$ _n$$^3$+(n+1)a_n$²-1
or
$f$ _n $(a$ n $a_n$ 3+n $a_n$ ²-1 = 0
donc
$f$ {n+1} $(a$ _n $a_n$ ²

Pour savoir si la suite (an) est décroissante, il faut effectué le calcul $f$ _{n+1} $(a$ _n $) - f$ _n $a_n$ ), mais je trouve $a_n$ ², qui est positif...

Pour la 3.b, il faut réécrire $a$ _n$$^3$+(n+1)a_n $² - 1, m a i s a u f i n a l j e t r o u v e$ a_n $²$ +a_n $²$ =(1-a_n$3)/n...

Pour la 3.b., j'ai trouvé, je m' étais trompé d'équation. Pour la limite des deux membres, je trouve 0 quand n →+∞. Mais je ne sais pas comment en déduire la valeur de L.
Pour la 3.c. Je trouve √n/n². Mais pour la question je suis bloquée, comme la question 3.a.

Pour la 3.a : (je n'en suis pas sûre)
La justification théorique est la suivante:
dire que $a_n$ ) converge vers un réel L signifie que $lim⁡n→+∞\lim_{n\rightarrow +\infty }$ $a_n$ =L.
Comme L²>L, $lim⁡n→+∞\lim_{n\rightarrow +\infty }$ $a_n$ ²=L², tout en sachant que la suite $a_n$ ) est monotone.

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