3. Question ouverte : fonction ln

Question ouverte : fonction ln

  • G

    Bonsoir,

    Voila j'ai un exercice sur lequel je bloque sur les question 2.b. et 2.c. Je voudrais donc bien un peu d'aide
    Voici l'énoncé:

    Soient les fonctions f et g définies sur l'intervalle ]0;+∞\infty∞[ par f(x)=ln x et g(x)= (lnx)2(ln x)^2(lnx)2. On note C et C' les courbes représentatives respectives de f et g dans un repère orthonormé. Les courbes C et C' sont données à titre indicatif en fin d'énoncé.

    1.a) Étudier le signe de (lnx)(1-lnx) sur ]0;+∞\infty∞[.
    b) En déduire la position de C et de C' selon des valeurs de x sur ]0;+∞\infty∞[.

    1. Pour tout x de ]0;+∞\infty∞[, M est le point de C d'abscisse x et N est le point de C' de même abscisse.
      a) Soit h le fonction définie sur ]0;+∞\infty∞[ par h(x)=f(x)-g(x) . Étudier les variations de h sur ]0;+∞\infty∞[.
      b) En déduire que sur l'intervalle [1;e], la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour x=ex=\sqrt{e}x=e​.
      c) Résoudre sur ]0;+∞\infty∞[, l'équation (lnx)^2-lnx=1.

    Merci d'avance.

    edit : merci de donner des titres significatifs

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonsoir,

    La réponse à la question 2 b) est obtenu à partir du tableau de variation.
    Pour quelle valeur de x, h'(x) = 0 ?
    quel est le sens de variation de f sur l'intervalle [1;e] ?

    G 1 réponse
  • G

    Je ne comprends pas

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Indique les résultats de la question 2 a).

    G 1 réponse
  • G

    h′(x)=1−2lnxxh'(x)=\frac{1-2lnx}{x}h′(x)=x1−2lnx​
    donc h(x)=0 revient à 1-2lnx=0 soit x=e(12)x= e^(\frac{1}{2})x=e(21​)
    donc sur]0;e(12[]0;e^(\frac{1}{2}[]0;e(21​[ h'(x) positive strictement donc h(x) est croissante.
    Et sur [tex]]e^(\frac{1}{2});+infini[ h'(x) strictement négative donc h(x) décroissante

    A 1 réponse
  • A

    dans la question 1 tu etudies le signe de h(x) qui n'est rien d'autre que ln(x)-(ln(x))²

    h represente egalement la distance MN qui est une distance verticale (difference des images de deux points ayant la meme abscisse)

    Dans ton dernier message du demontre clairement que h'(x)=0 => x = e^(1/2) = racine (e)

    donc h a son maximum en x = racine (e) (en d'autres termes pour x = racine (e) la distance MN est maximale)

    Pour la dernière question tu peux te ramener à (lnx)² - lnx - 1 = 0
    tu poses un changement de variable Y = lnx
    equivalent à Y²-Y-1 = 0 tu trouves tes deux racines Y1 et Y2 et tu remonte
    à x.

    Je n'ai pas fait l'exercice je te donne juste la méthode.

    bon courage

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