Calcul de distance entre points et forme algébrique de nombres complexes

Bonjour à tous!
J'ai un exercice de maths à faire, j'ai réussi le 1 mais je n'arrive pas le 2 et le 3

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O; u, v) on considère les points Mn d'affixe Zn = (i1/2)^n(1 + i3) où n est un entier naturel

1°) exprimez Zn+1 en fonction de Zn, puis Zn en fonction de Zo et n. Donnez Zo, Z1, Z2, Z3, Z4 sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

2°) Déterminer la distance OMn en fonction de n

3°) Démontrez que MnMn+1 = (5)/(2^n)

j'ai trouvé :
Z(n+1) = Zn x (1/2)i
Zn = Z0 x (i/2)^n

merci

et j'ai trouvé z1 z2 z3 z4

Bonjour,

L'expression de Zn est -elle ?
$zn=(i2)n(1+i3)z_{n}=(\frac{i}{2})^{n}(1+i^{3})$

$(\frac{1}{2}i)^{n}(1+i\sqrt{3})$

pour la question 2 j'ai trouvé:

$\mid zn \mid =\mid zo*\frac{i}{2}\mid = \frac{i-\sqrt{3}}{2^{n}}$

C'est cela ?

Exprime Zn en fonction de Z0 et n

Une distance comme le module ne comporte par i.

$z0(\frac{1}{2})^{n}= (1+\sqrt{3})*(\frac{1}{2})^{n}= \frac{(1+\sqrt{3})}{2^{n}}$

?

Ou est passé le i de $i/2)^n$ ?

OM(n)= |Zn|=|Z0 x (i/2)^n|
=|Z0|x|(i/2)^n|
=|1+ $3\sqrt{3}$ | x | i/2|^n
=2x (i/2)^n
= 2i/(2^n)
j'enleve le i et cela donne
= 2/(2^n) ?

j'ai trouvé 2 en faisant:
$12+32=2\sqrt{{1^{2}}+\sqrt{3}^{2}}= 2$

Une erreur pour le module :
OM(n)= |Zn|=|Z0 x (i/2)^n|
=|Z0|x|(i/2)^n|
=|1+| x | i/2|^n
=2x (1/2)^n
= 2/(2^n)
= $1/2^{n-1}$

pourquoi on trouve
1/2^(n-1) ?

comment peut on faire pour le 3 ?

$2/2^n$ = $2/(2x2^{n-1)}$
= $1/2^{n-1}$

Cherche l'affixe de MnMn+1

lZ(n+1)-Znl ?

Fais le calcul.

$=∣(i2)n+1−i2n(1+i3)∣=\left|(\frac{i}{2})^{n+1} - \frac{i}{2}^{n}(1+i\sqrt{3})\right|$

je fais le calcul et j'arrive à
$∣(1+i3)[(i2n)∗i2−i2n]∣\left|(1+i\sqrt{3})\left[(\frac{i}{2}^{n})*\frac{i}{2} - \frac{i}{2}^{n}\right] \right|$

apres je sais pas comment developper plus

$in+1−2in+i3∗in+1−2in∗i34\frac{i^{n+1}-2i^{n}+i\sqrt{3}*i^{n+1}-2i^{n}*i\sqrt{3}}{4}$

j'arrive à cela

Non

Zn+1 - Zn = $i/2)^n$ (1+i√3)(i/2 - 1)
calcule le module de chaque facteur.

(i/2)n(1+i√3)(i/2 - 1) = ((1/2)^n)2(racine5/2)=2racine5/2*2^n= racine5/2^n
je trouve la reponse

mais comment vous avez trouvé (i/2)n(1+i√3)(i/2 - 1) ? d'ou vient (i/2 - 1) ? ?

Ecfis Zn+1 - Zn puis factorise.

$∣(1+i3)[i2n+1−i2n]∣\left|(1+i\sqrt{3})\left[\frac{i}{2} ^{n+1}-\frac{i}{2}^{n}\right] \right|$

$∣(1+i3)((i2)n∗i2−22)∣\left|(1+i\sqrt{3})((\frac{i}2{})^{n}*\frac{i}{2}-\frac{2}{2}) \right|$

Attention aux parenthèses :
$(1+i3)(i2)n(i2−1)(1+i\sqrt{3})(\frac{i}{2})^{n}(\frac{i}{2}-1)$

Calcule le module.