Démontrer par différentes façons

[Maryry]

Bonjour, j'ai vraiment du problème avec cet exercice, et c'est plutôt urgent. Merci de m'aider ^^

Démontrer par un raisonnement géométrique ou à l'aide des nombres complexes
Dans un plan complexe, ABC est un triangle tel que la mesure principale de l'angle (AB;AC) appartienne à $\left[\begin{array}{c}0;\pi ;\end{array}\right]$
On construit extérieurement au triangle les carrées ACRS et BAMN puis le parallèlogramme MASD dont on note I le centre. Faire une figure. Le but de l'exercice est de montrer que la droite (AD) est une hauteur du triangle ABC et que AD=BC.

1. méthode géométrique
On note r la rotation de centre A et d'angle $\frac{\pi }{2}$

a. A quelles sont les images des point M et C par r?

Ici, j'ai prouver que M a pour image B et que C à pour image S

b. On note S' l'image de S par r. Montrer que A est le milieu du segment $\left[\begin{array}{c}c{s}^{\prime }\end{array}\right]$

Ici, puisque S' est l'image de S par la rotation de centre A alors AS=AS'
Et AS∈ACRS donc AS=AC → AS'=AC
Image de C par la rotation est S et l'image de S est S', toujours par la même
rotation, donc
$arg(\overrightarrow{ac};\overrightarrow{a{s}^{\prime }})=arg\left(\overrightarrow{ac};\overrightarrow{as}\right)+arg\left(\overrightarrow{as};\overrightarrow{a{s}^{\prime }}\right)=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}$
$\left(\overrightarrow{ac};\overrightarrow{a{s}^{\prime }}\right)=\pi$
Donc A est le milieu de S'C

c. On note I' l'image de I par r. Montrer que I' est le milieu du segment $\left[\begin{array}{c}b{s}^{\prime }\end{array}\right]$

Ici, B est l'image de M par la rotation r
S' est l'image de S par la rotation r
I est le milieu de de la diagonal $\left[\begin{array}{c}ms\end{array}\right]$
Puisque les rotation conserve les longueur et les milieu, alors
I' est le milieu de $\left[\begin{array}{c}b{s}^{\prime }\end{array}\right]$
Donc, les point CAS' sont alignées.

d. En déduire que la droite (AD) est perpendiculaire à la droite (BC) et que AD=BC.

J'ai prouvé que AD=BC puisque AS=AC (∈ au carrée ACRS) et que DS=BA (Puisque le parallèlogramme partage un côté avec le carrée BAMN)... Mais je ne le déduit pas. Et j'ai beau chercher, je n'arrive pas à prouver l'angle droit en $\left[\begin{array}{c}ad\end{array}\right]$ et$\left[\begin{array}{c}bc\end{array}\right]$

2. Utilisation des nombres complexes
a, b et c sont les affixes respectife de A, B et C.

a. Calculer les affixes des points S et M en fonction de a, b et c.

s est l'affixe de S et m est l'affixe de M
ACRS est un carrée, donc
$\left(\overrightarrow{ac};\overrightarrow{as}\right)=\frac{\pi }{2}$
$\frac{s-a}{c-a}=\frac{\pi }{2}$
et à la fin je trouve,
$s=\frac{\pi }{2}\left(c-a\right)+a$
BAMN est un carrée, donc
$\left(\overrightarrow{ab};\overrightarrow{am}\right)=\frac{\pi }{2}$
$\frac{m-a}{b-a}=\frac{\pi }{2}$
et à la fin je trouve,
$m=\frac{\pi }{2}\left(b-a\right)+a$

b. Calculer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{ad}$ et celle du vecteur $\overrightarrow{bc}$.

Bon, pour $\overrightarrow{bc}$, c'est facile
$\overrightarrow{bc}=c-b$
Mais pour $\overrightarrow{ad}$, j'ai un doute sur mon résultat.
je trouve que
$\overrightarrow{ad}=\overrightarrow{as}+\overrightarrow{sd}$ et $\overrightarrow{sd}=\overrightarrow{am}$
je trouve au final que
$\overrightarrow{ad}=\frac{\pi }{2}\left(c+b-2a\right)$

c. Montrer que $\overrightarrow{ad}$ et $\overrightarrow{bc}$ sont orthogonaux et que AD=BC.

Voilà mon deuxième problème. J'arrive à prouver que c'est un angle droit puisque
$arg\left(\overrightarrow{bc};\overrightarrow{ad}\right)=\frac{\pi }{2}$
mais je ne trouve pas que
$\left|\overrightarrow{bc};\overrightarrow{ad}\right|=1$

S'il vous palît aider moi, je ne sais plus quoi faire :frowning2:
Merci pour tout

[Noemi]

Bonsoir,

question 1 d)
Que peut-on dire des droites (AI') et (BC) ?

Pour la question 2,
c'est arg ((s-a)/(c-a)) = π/2

[Maryry]

A est le milieu de $\left[c{s}^{\prime }\right]$ et I' est le milieu de $\left[s^{\prime }b\right]$ donc, d'après le théorème des milieu (je crois que 'est celui-là où c'est thalès?), (AI') et (BC) sont parallèles.

Or, la droite (AI') est perpendiculaire à (AI) à cause de la rotation r.
De plus D,I et A sont alignées, donc (AI') est perpendiculaire à (DA).

Quand deux droites d1 et d2 sont parallèles. Si d1 est perpendiculaire a une troisième droite d3, alors d2 est également perpendiculaire à d3.
Merci beaucoup. ^^

Pour la question 2 c'est vrai que c'est l'arg ((s-a)/(c-a))=π/2... j'ai ait la même faute pour m-a/b-a.... Mais je vois toujours pas, tu pourrais développé un peu s'il te plaît ^^"?

[Noemi]

La droite des milieux.

Pour le 2 tu appliques : $z=\mid z\mid e^{i\theta }$

[Maryry]

oui merci, ça corrige une grosse erreur... Mais, maintenant, je suis bloqué autrement ^^"
en faisant comme tu me proposais, je trouve que
$\left|m-a\right|=\left|b-a\right|$ et que $\left|s-a\right|=\left|c-a\right|$

.... comment je fais pour fair passer le -a? ... Pas très pratique..
Enfin bref... Merci pour tous tes efforts pour m'aider à comprendre ce problème ^^"

[Noemi]

$e^{i\pi /2}$= i

Une erreur dans la mesure des angles l'un est égal à -π/2.

[Maryry]

AAAAAh, j'avais pas vu o_O.... Merciii, tu es ma sauveuse (si t'es une fille).

Mouhahaha (6 heures qui n'ont pas servi à rien :evil: , enfin, je m'en étais rendu compte plus tôt, j'aurai pas eu tous ces problèmes U_U)