Etudier une fonction logarithmique



  • [tex][tex][/tex]Bonjour (enfin Re-bonjour), je suis également bloquée sur cet exercice. Merci beaucoup de m'aider ^^

    A. Soit f la fonction définie sur ]0;+[]0;+\infty[ par:

    f(x)=xlnxx+1f(x)=\frac{x\ln x}{x+1}

    1. Soit ϕ\phi la fonction définie sur ]0;+[]0;+\infty[ par:
      ϕ(x)=lnx+x+1\phi (x)=\ln x+x+1

    Étudier les variations de ϕ\phi. Établissez que l'équation ϕ(x)=0\phi (x)=0 admet une solution unique β\beta et que 0,27≤β\beta≤0,28.

    Bon, c'est simple. Tu trouve que ϕ\phi ' est toujours positif et que ϕ\phi est toujours croissante. À partir de là, tu montre avec le théorème des valeurs intermédiaires que ϕ\phi admet bien une solution unique β\beta et que 0,27≤β\beta≤0,28 avec la calculatrice.

    1. Pour x>0, exprimez f'(x) en fonction de ϕ\phi.
      Déduisez les variation de f.
      Déterminez les limites de f en 0 et en ++\infty.

    Tu trouve que f(x)=ϕ(x)(x+1)2f'(x)=\frac{\phi(x) }{(x+1)^{2}}
    et tu en conclue que f est décroissante sur ]0;β]]0;\beta ] et qu'elle est croissante sur [β;+[[\beta ; +\infty [
    ses limites sont
    limx0f(x)=0\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0
    limx+f(x)=+\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = +\infty

    B. On propose d'étuidier l'équation f(x)=n, où n est un entier naturel non nul.

    1. Montrez que, pour tout n, cette équation admet une solution αn\alpha _{n} et une seule

    f est décroissante sur ]0;β]]0;\beta ], or 0,27≤β\beta≤0,28
    donc, f(0,27)<0 et f(0,28)<0 donc f([tex]\beta[/tex])<0.
    ∀n∈mathbbNmathbb{N}, n>0 donc f(x)=n n'a pas de solution sur ]0;β]]0;\beta ].

    f est strictement croissante et continue sur [β;+[[\beta ; +\infty [
    n[f(β);limx+f(x)[n\in \left[f(\beta );\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \right[
    donc f(x)=n admet une solution unique αn\alpha _{n} sur l'interval [β;+[[\beta ; +\infty [.

    1. Comparaison de αn\alpha _{n} à ene^{n}
      a. Établissez que f(en)f(e^{n})≤n. Déduisez que αn\alpha _{n}ene^{n}.

    En faite, il fallait juste faire une inéquation...
    enne^{n}\geq n
    et tu trouve à la fin que
    nenen+1nenen+1nn2en\frac{ne^{n}}{e^{n}+1}\leq \frac{ne^{n}}{e^{n}+1}\leq n\leq n^{2}e^{n}
    (mon dieu, que c'est compliqué)
    et au final puisque f(x) est croissante, tu trouve que
    enαne^{n}\leq \alpha _{n}

    b. Prouvez que la relation f(αn)=nf(\alpha _{n})=n peut s'écrire sous la forme: lnαnen=nαn\ln \frac{\alpha _{n}}{e^{n}}=\frac{n}{\alpha _{n}} (1)
    Déduisez-en, à l'aide de a., la limite de αnen\frac{\alpha _{n}}{e^{n}} lorsque n tend vers l'infinie.

    Faut pas utiliser ϕ(x)\phi (x) >_<, elle sert plus à rien cette fonction
    J'ai honte d'avoir posé cette question U_U, navrée.

    1. Comparaison de αn\alpha _{n} àen+ne^{n}+n
      On écrit αn\alpha _{n} sous la forme:
      αn=en(1+εn)\alpha _{n}=e^{n}(1+\varepsilon _{n}), où εn\varepsilon _{n}ene^{n} (2)

    a. À l'aide de 1., exprimez (1+(1+εn)ln(1+εn)(1+\varepsilon _{n})\ln(1+\varepsilon _{n})

    Ici, ça passe comme une lettre à la poste. Tu prends l'équation, et tu remplaces...C'est très bête

    b. Établissez que pour t≥0:
    0≤(1+t)ln(1+t)t(1+t)\ln (1+t)-tt22\frac{t^{2}}{2}

    Je n'ai pas tellement réussit cette question-là.. Je n'arrive pas à prouver que
    (1+t)ln(1+t)t(1+t)\ln (1+t)-tt22\frac{t^{2}}{2}
    Un peu d'aide, ici. Ce serait gentil

    c. Déduisez de a. et b. que pour tout n ≥1:
    0≤nen1εne^{n-1}-\varepsilon _{n}n2e2n2\frac{n^{2}e^{-2n}}{2} (3)

    Ici aussi, il suffit de replacer, c'est bête et méchant.

    d. À l'aide de (2) et (3), déterminez la limite de en+nαne^{n}+n-\alpha _{n}
    lorsque n tend vers ++\infty

    Un peu dure au départ, mais comme on prouve que e2nn2e^{-2n}\geq n^{2}
    ? 😕


  • Modérateurs

    Bonsoir

    Question 2 a) exprime f(en)f(e^{n)} puis tu déduis l'inégalité.



  • bonsoir, merci pour l'aide ^^.


  • Modérateurs

    Tu as simplifié f(enf(e^n) ?



  • oui, merci. J4ai enfin fini ouf... Il est 2h30 du mat' et j'ai fini mes maths...
    HOURA >O<....

    Bon au lit. ^^ Merci pour tout


 

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