Etudier une fonction logarithmique

$[t e x]$ [/tex]Bonjour (enfin Re-bonjour), je suis également bloquée sur cet exercice. Merci beaucoup de m'aider ^^

A. Soit f la fonction définie sur $]0;+∞[]0;+\infty[$ par:

$f(x)=xln⁡xx+1f(x)=\frac{x\ln x}{x+1}$

Soit $ϕ\phi$ la fonction définie sur $]0;+∞[]0;+\infty[$ par:
$ϕ(x)=ln⁡x+x+1\phi (x)=\ln x+x+1$

Étudier les variations de $ϕ\phi$ . Établissez que l'équation $ϕ(x)=0\phi (x)=0$ admet une solution unique $β\beta$ et que 0,27≤ $β\beta$ ≤0,28.

Bon, c'est simple. Tu trouve que $ϕ′\phi '$ est toujours positif et que $ϕ\phi$ est toujours croissante. À partir de là, tu montre avec le théorème des valeurs intermédiaires que $ϕ\phi$ admet bien une solution unique $β\beta$ et que 0,27≤ $β\beta$ ≤0,28 avec la calculatrice.

Pour x>0, exprimez f'(x) en fonction de $ϕ\phi$ .
Déduisez les variation de f.
Déterminez les limites de f en 0 et en $+∞+\infty$ .

Tu trouve que $f′(x)=ϕ(x)(x+1)2f'(x)=\frac{\phi(x) }{(x+1)^{2}}$
et tu en conclue que f est décroissante sur $]0;β]]0;\beta ]$ et qu'elle est croissante sur $[β;+∞[[\beta ; +\infty [$
ses limites sont
$lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0$
$lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = +\infty$

B. On propose d'étuidier l'équation f(x)=n, où n est un entier naturel non nul.

Montrez que, pour tout n, cette équation admet une solution $αn\alpha _{n}$ et une seule

f est décroissante sur $]0;β]]0;\beta ]$ , or 0,27≤ $β\beta$ ≤0,28
donc, f(0,27)<0 et f(0,28)<0 donc f([tex]\beta[/tex])<0.
∀n∈ $mathbb{N}$ , n>0 donc f(x)=n n'a pas de solution sur $]0;β]]0;\beta ]$ .

f est strictement croissante et continue sur $[β;+∞[[\beta ; +\infty [$
$n∈[f(β);lim⁡x→+∞f(x)[n\in \left[f(\beta );\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \right[$
donc f(x)=n admet une solution unique $αn\alpha _{n}$ sur l'interval $[β;+∞[[\beta ; +\infty [$ .

Comparaison de $αn\alpha _{n}$ à $e^{n}$
a. Établissez que $f(e^{n})$ ≤n. Déduisez que $αn\alpha _{n}$ ≥ $e^{n}$ .

En faite, il fallait juste faire une inéquation...
$en≥ne^{n}\geq n$
et tu trouve à la fin que
$nenen+1≤nenen+1≤n≤n2en\frac{ne^{n}}{e^{n}+1}\leq \frac{ne^{n}}{e^{n}+1}\leq n\leq n^{2}e^{n}$
(mon dieu, que c'est compliqué)
et au final puisque f(x) est croissante, tu trouve que
$en≤αne^{n}\leq \alpha _{n}$

b. Prouvez que la relation $f(αn)=nf(\alpha _{n})=n$ peut s'écrire sous la forme: $ln⁡αnen=nαn\ln \frac{\alpha _{n}}{e^{n}}=\frac{n}{\alpha _{n}}$ (1)
Déduisez-en, à l'aide de a., la limite de $αnen\frac{\alpha _{n}}{e^{n}}$ lorsque n tend vers l'infinie.

Faut pas utiliser $ϕ(x)\phi (x)$ >_<, elle sert plus à rien cette fonction
J'ai honte d'avoir posé cette question U_U, navrée.

Comparaison de $αn\alpha _{n}$ à $e^{n}+n$
On écrit $αn\alpha _{n}$ sous la forme:
$αn=en(1+εn)\alpha _{n}=e^{n}(1+\varepsilon _{n})$ , où $εn\varepsilon _{n}$ ≥ $e^{n}$ (2)

a. À l'aide de 1., exprimez (1+ $(1+εn)ln⁡(1+εn)(1+\varepsilon _{n})\ln(1+\varepsilon _{n})$

Ici, ça passe comme une lettre à la poste. Tu prends l'équation, et tu remplaces...C'est très bête

b. Établissez que pour t≥0:
0≤ $(1+t)ln⁡(1+t)−t(1+t)\ln (1+t)-t$ ≤ $t22\frac{t^{2}}{2}$

Je n'ai pas tellement réussit cette question-là.. Je n'arrive pas à prouver que
$(1+t)ln⁡(1+t)−t(1+t)\ln (1+t)-t$ ≤ $t22\frac{t^{2}}{2}$
Un peu d'aide, ici. Ce serait gentil

c. Déduisez de a. et b. que pour tout n ≥1:
0≤n $en−1−εne^{n-1}-\varepsilon _{n}$ ≤ $n2e−2n2\frac{n^{2}e^{-2n}}{2}$ (3)

Ici aussi, il suffit de replacer, c'est bête et méchant.

d. À l'aide de (2) et (3), déterminez la limite de $en+n−αne^{n}+n-\alpha _{n}$
lorsque n tend vers $+∞+\infty$

Un peu dure au départ, mais comme on prouve que $e−2n≥n2e^{-2n}\geq n^{2}$
?

Bonsoir

Question 2 a) exprime $f(e^{n)}$ puis tu déduis l'inégalité.

bonsoir, merci pour l'aide ^^.

Tu as simplifié $f(e^n$ ) ?

oui, merci. J4ai enfin fini ouf... Il est 2h30 du mat' et j'ai fini mes maths...
HOURA >O<....

Bon au lit. ^^ Merci pour tout