Problème de fonction et moyenne

Bonjour!
Voilà j'ai un exercie ou plutôt un problème. Je suis un peu embêté car toute les question s'enchaîne et je suis bloqué donc je peux pas vraiment continuer donc j'aurai besoin d'aide.

Problème: Ce problème comporte quatres dépendantes les unes des autres.
Dans toute cette partie, a et b sont deux réels strictement positifs.

On appelle:
moyenne arithmétique, le réel m tel que m= (a+b)/ 2
moyenne géométrique, le réel g tel que g=√ab
moyenne harmonique, le réel h tel que 2/h = 1/a + 1/b
moyenne quadratique, le réel q tel que q= √((a²+b²)/ 2)

I)a) Calculer m, g, h,q pour a=8 et b=10. Ordonner ces quatre moyennes.
b) Pour tous réels a et b strictement positifs, ordoner m, g,h q. ( on étudiera les signes des différences g-h, m-g, q-m).
II)a) Construire un quadrilatère ABCD convexe tel que $b^=d^\hat{b}=\hat{d}$
et AB=BC=I (I réel positif).
On pose AD=a et CD=b. Parmi les définition du I), quelle moyenne I représente pour a et b?

b) Un cycliste roule à 16 km/h pendant une heure, puis à 20 km/h pendant une heure.
Quelle définition du I) correspond à sa vitesse moyenne pendant le trajet?

c) Deux ville A et B sont distantes de « d » km. Un cycliste roule à 16 km/h pour aller de A vers B, puis à 20 km/h au retour. Calculer sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours. (attention, ce n'est pas la moyenne arithmétique !).
Quelle définition du I) correspond à sa vitesse moyenne pendant le trajet?

d) Un capital C est placé à x% d'intérêts annuels, capitalisés à la fin de chaque année. Ce capital devient C' à la fin de la première année, et C'' à la fin de la suivante. Montrer qu'il existe un réel k tel que C''=kC' et C'=kC
Montrer que C' est la moyenne géomètrique de C et de C''.

III)a) Sanchant que si trois nombres sont égaux, ils sont égaux à leur moyenne (quelle que soit sa définition), proposer des définitions similaires au I) pour les moyenne de 3 nombres a,b,c, puis de n nombres.

b) Un élève a eu les notes suivantes: 6, 14, 9, 7, 12, 15.
Calculer les différentes moyennes avec les définitions du III) a).
IV) On pose b=6. Pour tout réel a de ]0;15[, et en conservant les notations du I), on considère les fonctions de la variable a, définies par f1(a)=m, f2(a)=g, f3(a)=h, f4(a)=q.
Construire les courbes représentant ces quatres fonctions dans le même plan muni d'un repère orthonormé d'unité 1cm.
Retrouver alors le résultat du I) b).

Donc voilà, ce que j'ai déjà su faire:
I)a)
m= $a+b2=8+102=182=9\frac{a+b}{2}= \frac{8+10}{2}=\frac{18}{2}=9$
g= $ab=810=80=165=425=45\sqrt{ab}= \sqrt{810} = \sqrt {80}= \sqrt {165}= \sqrt {4^{2}5}= 4\sqrt {5}$
$2h=1a+1b=bab+aab=a+bab\frac{2}{h}= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}= \frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}= \frac{a+b}{ab}$
$h=2aba+b=28∗108+10=16018=8040h=\frac{2ab}{a+b}= \frac{28*10}{8+10}= \frac{160}{18}=\frac{80}{40}$
$q=\sqrt{\frac{a^2+^b^2}{2}}=\sqrt{\frac{8^2+10^2}{2}}=\sqrt{\frac{64+100}{2}}=\sqrt{\frac{164}{2}}=\sqrt{82}$
$\frac{80}{9}< 4\sqrt{5}< 9 < \sqrt{82}$

Ensuite I)b)
pour
$\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}= \frac{\sqrt{ab}(a+b)}{a+b}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{a\sqrt{ab}+b*\sqrt{ab}}{a+b}- \frac{2ab}{a+b}= \frac{a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}-(2ab)}{a+b}=\frac{a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}-2ab}{a+b}$

$m-g=\frac{a+b}{2}- \sqrt{ab}= \frac{a+b}{2}-\frac{\2*sqrt{ab}}{2}=\frac{a+b}{2}-\frac{2\sqrt{ab}}{2}=\frac{a+b-(2\sqrt{ab})}{2}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}= \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}$

$q−m=a2+b22−a+b2=a2+b22−a+b2=a2+b22(2)2−(a+b)222=2a2+b222−a2+b222=2a2+b2−(a2+b2)22=2a2+b2−a2−b222q-m=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}-\frac{a+b}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}}-\frac{a+b}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}2}{(\sqrt{2})2}-\frac{(a+b)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{a^2+b^2}}{2\sqrt{2}}-\frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{a^2+b^2}-(a\sqrt{2}+b\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{a^2+b^2}-a\sqrt{2}-b\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

Après je suis bloquer

Bonsoir,

Pour comparer g et h, vu que g > 0 et h >0 tu peux comparer leur carré.

Donc :
$\sqrt{ab}$
$g2=(ab)2=abg^2= (\sqrt{ab})^2=ab$

et $h=2aba+bh=\frac{2ab}{a+b}$
$h2=(2aba+b)2=22a2b2a2+b2=4a2b2a2+b2h^2= (\frac{2ab}{a+b})^2= \frac{2^2a^2b^2}{a^2+b^2}=\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}$

Vu que le dénominateur de h est positif on compare le numérateur avec g²
4a²b²>ab
Dois-je faire pareil avec m-g et q-m ?

Pour comparer les numérateurs, il faut avoir le même dénominateur.
et (a+b)² = a² + 2ab + b²

Un exemple
g > h si
√(ab) > 2ab/(a+b) comme a et b positif on élève au carré
ab > 4a²b²/(a+b)²
soit
(a+b)² > 4ab ou
(a+b)²-4ab > 0 ou
(a-b)² > 0 qui est vrai donc g > h

Tu appliques la même démarche pour les autres cas.

Ah oui (a+b)²=a²+2ab+b² . zut, quel belle faute;

Donc si j'ai bien compris:
pour m-g:

m>g si
$\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}$ comme a et b sont positifs, on élève au carré.
$(\frac{a+b}{2})^2>\sqrt{ab}^2$
$\frac{(a+b)^2}{4}>ab$
Ensuite, on met sur le même dénominateur.
$\frac{(a+b)^2}{4}>\frac{4ab}{4}$
Soit (a+b)²>4ab
(a+b)²-4ab>0
a²+2ab+b²-4ab>0
a²-2ab+b²>0
(a-b)>0
donc m>g

Ensuite pour q-m
q>m si
$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}>\frac{a+b}{2}$ Comme a et b sont positifs, on élève au carré.
$(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}})^2>(\frac{a+b}{2})^2$
$\frac{a^2+b^2}{2}>\frac{(a+b)^2}{4}$On met sur le même dénominateur:
$\frac{2a^2+2b^2}{4}>\frac{(a+b)^2}{4}$
Soit 2a²+2b²>(a+b)²
2a²+2b²-(a+b)²>0
2a²+2b²-(a²+2ab+b²)>0
2a²+2b²-a²-2ab-b²>0
a²-2ab+b²>0
(a-b)²>0
Donc q>m

Est-ce comme ça?

Et j'ai oublié
g-h
g>h si
$\sqrt{ab}>\frac{2ab}{a+b}$ Comme a et b>0 on élève au carré
$ab> \frac{4a^2b^2}{(a+b)^2}$
On met sur le même dénominateur:
$\frac{2a^2b+2ab^2+4a^2b^2}{(a+b)^2}>\frac{4a^2b^2}{(a+b)^2}$

soit 2a²b+4a²b²+2ab²>4a²b²
2a²b+4a²b²+2ab²-4a²b²>0
2a²b+2ab²>0
Donc g>h

Est-ce que cela est correct?

Une erreur pour la comparaison de g et h lors de la mise au même dénominateur.
J'ai noté la démonstration dans l'exemple de mon précédent post.

Ah oui, sinon pour m et g, et q et m est ce correct.

Oui, les autres calculs sont corrects.

Donc ensuite
II)a) je dois trouver parmi les définitions du I) quelle moyenne I représente pour a et b. mais je n'ai pas compris ce que je dois chercher.

On cherche la moyenne qui est utilisée.

Connait-on la mesure de l'angle B pour le quadrilatère ABCD ?

Oui j'ai oublier de précisé que l'angle B=angle D = $π2rad\frac{\pi }{2}rad$

Calcule de deux façons différentes la mesure de AC (Pythagore).

Dans le triangle ABC rectangle en B:
AC²=AB²+BC²
AC²=I²+I²
AC²=2I²
AC=√2I²

Ensuite, dans le triangle ADC rectangle en
AC²=AD²+DC²
AC²=a²+b²
AC²=√(a²+b²)

Donc jusque la je pense que je me suis pas trompé .

Ensuite AC=√2*I²= √(a²+b²)
Ensuite je pense qu'il faut faire un produit en croix mais je ne suis pas sure:

√2*√I²=√(a²+b²)*1
√I²=(√a²+b²)/√2

Donc la je me rapproche de la moyenne q mais après je ne sais pas comment on fait!

Tu obtient I√2 = V(a²+b²)
Soit I = ....

Donc ...

A d'accord donc I= √(a²+b²)/√2
Ainsi, pour a et b, I représente la moyenne q.

Bonsoir, ensuite pour la question II)b) j'ai mis que le cycliste roule pendant 1 heure a 16km/h puis à 20 km/h pendant la meme duré
Donc je note a=16 et b= 20 et j'applique la moyenne arithmétique
m=(16+20)/2=36/2=18
Ainsi la moyenne vitesse est 18km/h

Ensuite pour la II)c)
J'ai mis que l'on sait que la ville A est séparé de la ville B de "d" km. ensuite on sait que le cycliste roule à 20 km/h de A en B, puis à 20km/h de B en A. Sachant que l'on fais le trajet aller retour à 2 vitesse différente, pour trouver la vitesse moyenne il faut appliquer la moyenne harmonique. On note a=1- et b=20
Donc h=(2ab)/(a+b)
h=(21620)/(16+20)
=640/36
=160/9

II)d) Je ne sais pas comment faire.

Pour ce qui est de la question III)a)

Pour 3 nombre a, b,c:
m=(a+b+c)/3
3/h=1/a+(1/b)+(1/c)
$h=3abc(a+b)c+abh=\frac{3abc}{(a+b)c+ab}$
$q=a2+b2+c23q=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$
Par contre pour g je ne trouve pas j'ai essayer plusieurs formule différente mais rien ne marche.
ensuite pour les moyenne de n nomvre, je ne suis pas sure de savoir comment faire mais je pense à:
m= $(n$ _1 $n_2$ +... $+ n$ _p $n_p$
$n1+n2+...+npnp\sqrt{\frac{n_1+n_2+...+n_p}{n_p}}$
En suite les autre je ne sais pas comment les exprimer.

III)b)
m=(6+14+9+7+12+15)/6=63/6=21/2
$q=62+142+92+72+122+1526=7316q=\sqrt{\frac{6^2+14^2+9^2+7^2+12^2+15^2}{6}}=\sqrt{\frac{731}{6}}$

Ensuite je peux pas les faire car je n'arive pas à exprimer h et g en fonction de n nombre.
IV) c'est le graphique.

Voilà j'aimerais un peu aide à trouver ce que je n'arrive pas à faire!