Déterminer les parties réelles et imaginaires de nombres complexes

On considère la transformation qui, à tout point M d'affixe z=x +iy différente de 1, associe le point M' d'affixe z' = (z-2)/(z-1).

1)Déterminer le(s) point(s) fixe(s) de cette transformation.
Pour cette question, j'ai réussi

Déterminer les parties réelle et imaginaire de z' en fonction de celles de z
Voici ce que j'ai fais :

z' = (z-2) / (z-1)
z' = (x +iy -2) / (x +iy -1)
z' = (x-2+iy)/(x-1+iy) * (x-1-iy)/(x-1-iy)
z' = (x-2 +iy)(x-1-iy) / (x-1)² - (iy)²
z' = (x² -x -ixy -2x +2 +2iy +ixy -iy -(iy)²) / ((x-1)² -(iy)²)
z' = (x² +y² -3x +2 + iy ) / ((x-1)² +y²)
z' = (x² +y² -3x +2)/((x-1)² +y²) + i y/((x-1)² +y²)

Ce qui fait que :
Re(z') = x' = (x² +y² -3x +2)/((x-1)² +y²)
Im(z') = y' = y/((x-1)² + y²)

(merci de bien vouloir vérifier mes résultats)

Déterminer l'ensemble des points M tels que le point M' soit sur l'axe des abscisses

Voici ce que j'ai commencé à faire
Si M' est sur l'axe des abscisse
Im(z') = 0
(y)/ ((x-1)² + y²) = 0
est-ce bien cela qu'il faut résoudre pour trouver l'équation du cercle où doit se trouver M
Si oui comment procéder parce que je suis complètement bloquer ....

Merci d'avance

Bonsoir,

Le début est correct.
3) Im(z') = 0 donne y' = 0, soit y = 0
donc z = x.

Je ne comprend pas comment affirmer que
z = x
(ce ne serait pas z' = x ? )

Non,
z' = x' et z = x

Bonjour, voici ce que j'ai essayé de faire pour la suite de la question (déterminer l'ensemble des points M tels que le point M' soit sur l'axe des abscisses) :

Im(z') = 0 donne bien y'=0 et donc y=0
je résouds ensuite
je remplace ensuite y' (et donc y) par 0 dans z'

z' = (x² + 0² -3x +2) / ((x-1)² + 0²)
z' = (x² -3x +2) / (x-1)²

est-ce bien comme cela qu'il faut procéder,
et si oui comment continuer car je suis bloquée

merci d'avance

Bonsoir,
est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à vérifier mes résultats,
merci d'avance...