Probleme fonction exponentielle



  • J'ai un devoir maison à faire et je n'y comprend rien je n'arrive pas à le faire. Si quelqu'un peut m'aider :s merci d'avance.

    On décide de mesurer, en fonction du temps, la quantité de principe actif d’un médicament présent dans le sang d’un patient en traitement dans un hôpital.

    • A l’instant t, exprimé en minutes, on note q(t) la quantité exprimée en milligrammes de ce principe actif, contenue dans le sang d’un patient.
    • On admet que la fonction q est solution de l’équation différentielle:
      (E ) : 4y’+y = - 0,002t + 2,992
      Où y est une fonction de la variable réelle t définie et dérivable sur [0; 1 440] et y’ sa fonction dérivée.

    1-a) Résoudre l’équation (E0): 4y’+y=0 sur [0;1440]
    b) Déterminer les 2 nombres réels a et b tels que la fonction g définie sur [0;1440] par g(t) = at+b soit une solution particulière de l’équation différentielle (E )
    c) Soit h une fonction définie et dérivable sur [0;1440].
    Démontrer que h est solution de (E ) équivaut à (h-g) est solution de (E0)
    d) En déduire l’ensemble des solutions de (E ).

    2-a) Démontrer que la solution q de l’équation différentielle (E ) qui vérifie la condition initiale q(0) = 0 est la fonction définie sur [0;1440] par:
    q(t) = 3 - 0.002t-3e-t/4
    b) Calculer la dérivée de q sur [0;1440]
    c) Etudier les variations de q sur [0;1440] et donner son tableau de variations.

    3-a) Au bout de combien de temps, la quantité de principe actif est-elle maximale?
    b) Calculer la quantité de principe actif restant dans le sang d’un patient 24 heures après l’injection du médicament (arrondi à 10-2 près).


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

    4y' + y = 0 a pour solution y = ...



  • 1-a) 4y'+y=0
    ⇔4y'=-y
    ⇔y'= -1/4 y
    Donc les solutions de (E0(E_0) sont les fonctions f définies sur [0;1 440] par f(x)=ke1/4xf(x)=ke^{-1/4x} avec k constante réelle.

    b) pour cette question j'y arrive pas j'ai trouvé:
    y'= -1/4y ⇔ y'=-1/4 y + 0
    g'(t)= at+b ⇔ g'(t)= -1/4t+0 donc on a a=-1/4 et b=0 mais je vois pas comment continuer


  • Modérateurs

    Pour la question b) g doit être une solution de l'équation (E)
    y = at+b, y' = ....
    que tu remplaces dans l'équation (E)


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