Propriétés des tangentes à une parabole.

Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O;I;J) on considère la parabole (P) d'équation y=ax² (ou ce qui revient au même la courbe représentative de la fonction f(x)=ax²) où a est paramètre réel non nul.

a) Représenter (P) sur l'intervalle [0;2]

$fichier math$

b) soit x0 un réel non nul. On considère les points M(x0;ax0²) ∈(P), m(x0;0) m1(0;ax0²) et m2 symétrique de m1 par rapport à l'axe (O;I).
Quels sont les coordonnées de m2?
J'ai mis que comme m2 symétrique a m1, ses coordonnées sont (0,-ax²0)
Calculer le coefficient directeur de la droite (m2M) en fonction de x0 et a.
J'ai trouvé 2ax en utilisant yb-ya/xb-xa

c) placer les points m, M, m1 et m2 sur la figure a) en prenant a=1 et x0=1 voir schéma

d) démontrer que la droite (m2M) est la tangente à (P) au point M.
Je n'ai pas réussi.

e) Démontrer que les segments [m2M] et [Om] ont même milieu I dont on calculera les coordonnées.
Je n'y suis pas arrivé non plus.

Salut,

b)Oui

Attention le coefficient directeur est $2ax_0$

d) On sait déjà que la droite $m_2$ M) passe par M. Il suffit de vérifier que son coefficient directeur est bien celui de la tangente à (P) en M.
Par définition, ce coefficient directeur vaut f' $x_0$ )

e) Utilise la formule des coordonnées du milieu d'un segment. Calcule les coordonnées du milieu de $m_2$ M] et celles du milieu de [Om] en fonction de $x_0$ .
Tu dois trouver le même résultat dans les 2 cas.

J'ai pas compris pourquoi le coefficient directeur vaut f'(x0).
mais sinon, si ça nous fait ça
on a
f'(x)=2ax
f'(x0)=2ax0
Je vais essayer la question e)

Thierry

Par définition, ce coefficient directeur vaut f' $x_0$ )Je te laisse le vérifier par exemple dans ce cours sur la dérivation, lire la partie "interprétation géométrique".

ok! Merci!
J'ai trouvé la e)
I(x0;0).
Pourrais tu m'aider? Car il y a une suite que je n'ai pas posté.
B) On rappelle que si deux droites (D) et (D') ont pour équation y=mx+p et y=m'x+p', alors les droites (D) et (D') sont perpendiculaires ssi mm'=-1.
a) soit (∇) la perpendiculaire à (m2M) passant par I. Calculer l'équation de (∇).
J'ai trouvé y=-1/2ax0+1/4a

b) Soit F le point d'intersection de (∇) avec l'axe (O,j). Calculer les coordonnées de F.
En déduire que F ne dépend pas de x0.
J'ai trouvé F(0;1/4a)
a partir de là, j'arrive pas les questions parce que je bloque a la c).

c)Soit H le point d'intersection de (∇) avec la droite (mM). Calculer les coordonnées de H.

d) démontrer que I est milieu de [FH]. En déduire que le triangle FMH est isocèle.

e) soit T le point défini par MT=HM (vecteurs) et S le point défini par MS =HF
on pose IFM= alpha. et on suppose que (MS,MI) et (MF,MI) sont directs. En déduire une mesure des angles FMI, (MS,MI) et (MF,MI)
f) démontrer que (MS,MF)=(MT,MS)
on doit utiliser la propriété dite du mirroir parabolique.

c) Tu as déjà l'équation de ∇. Il faut que tu fasses un système avec l'équation de (mM).

d) Avec les coordonnées de F et de H, calcule les coordonnées de leur milieu.

(pour la suite, si tu as complété la figure, je veux bien la voir).

J'ai un probème. J'arrive pas a calculer l'équation de (mM) vu que le sytème est incorrect.
on a:
y=ax+b
donc

0=ax0+b
ax0²=ax0+b

-ax0=b
ax0²-ax0=b

ya donc un problème non?

(mM) étant une droite verticale, son équation est de la forme "x = un nombre". (ce nombre étant l'abscisse des points de la droite).

ok donc son équation c'est x=xo?

oui

merci, je vais essayer les autres questions maintenant que je suis débloqué

J'arrive pas a résoudre l'équation x0= -1/2ax0+ 1/4a pour trouver les coordonnées de H.

Ton équation de droite n'est-elle pas plutôt : $y=-1/2ax_0$ x+1/4a ?

Alors ton système est :
${x=x_0$
${y=-1/2ax_0$x+1/4a
d'inconnues x et y.

j'ai fait la figure. Pour la question d c'est bon. j'ai calculé I milieu de FH et après j'ai retrouvé les mêmes coordonnées. Par contre, pourrais tu m'expliquer pourquoi ils sont isocéles
e) j'ai trouvé FMI= 45°
(MS;MI) = π/2
(MF,MI)= π/4
après la f), c'est le néant.
J'ai fait la figure (sur paint,donc pa de précision) que tu m'as demandé pour que tu voies un peu ce que ça donne.

$fichier math$

S'il vous plait, c'est pour demain. Je n'arrive pas la e) et la f) du B