Probabilité et dénombrement

Bonjour à tous et à toutes.

Voilà, j'ai un dm à faire pendant ces vacances et je bloque sur le deuxième exercice qui est sur le dénombrement.
Voilà l'énoncé et les questions :

Soit E l'ensemble à 12 éléments : E={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l}.

1) Dénombrer les parties de E à 5 éléments qui contiennent :

a) a et b ; b) a mais pas b ; c) b mais pas a ; d) ni a ni b

Cette question j'ai réussi à la faire.

2) En déduire la relation (12;5) = (10;3)+2*(10;4)+(10;5) (On lit 5 parmi 12 égal à 3 parmi 10 plus 2 fois 4 parmi 10 plus 5 parmi 10 : je marquerai de cette manière car je ne peux pas mettre les nombres les uns sur les autres)

Pour cette question, j'ai expliqué par une phrase.

3) Généraliser le résultat du 2) :
(n;p) = (... ; ...)+2*(... ; ...)+(... ; ...)
et prouver ce nouveau résultat en vous inspirant des questions 1) et 2).

J'ai marqué :
(n;p) = (n-2 ; p-2) + 2* (n-2 ; p-1) + (n-2 ; p) Est-ce exact ?
Mais je n'ai pas réussi à prouver ce résultat.

4) Démontrer l'égalité de la question 3) par le calcul en utilisant l'expression de (n;p)

J'ai essayé de calculer le membre de droite : (n-2 ; p-2) + 2* (n-2 ; p-1) + (n-2 ; p)
Mais je trouve :

(n-2)! * (n²-n) / p! * (n-p)!

Le dénominateur est juste, mais je devrai trouver (n-2)! * (n-1) * n au numérateur.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Bonjour,

La relation pour la question 3 est juste. Tu la prouves en indiquant un raisonnement analogue aux questions 1 et 2.

factorise n² - n

Bonjour,
pour la question 3) je ne vois vraiment pas comment je peux faire si ce n'est répéter la même chose que pour la question 2) mais avec des n et des p.

Pour la question 4) :
(n-2)! * (n²-n) / p! * (n-p)! = (n-2)! * n *(n-1) / p! * (n-p)! = n! / p! * (n-p)! = (n;p)

Est-ce exact ?

Oui,

Pour la question 3, tu reprends l'approche des questions 1 et 2.

Le reste est juste.

Oh d'accord, merci beaucoup !!!