Complexes + Suites



  • Bonjour, j'ai un devoir à faire pour après les vacances, mais je bloque completement. Pouvez vous me venir en aide ?

    Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct d'unité graphique 6cm.
    On considère la suite (αn) de nombres réels definie par α0=π/2 et pour tout entier naturel n, αn+1=αn+5π/6

    Pour tout entier naturel n, on appelle Mn le point du cercle C de centre O de rayon 1 tel que l'angle (vecteur u, vecteur OMn) ait pour mesure αn.

    1.Placer les 12 points Mo, M1,...M11. FAIT

    1. On appelle zn l'affixe de Mn. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a zn=e^(iπ/2+5nπ/6)

    3.a/Montrer que pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes:
    -les points Mn et Mn+6 sont diamétralement opposés
    -les points Mn et Mn+12 sont confondus.

    B/Montrer que, pour tout entier naturel n, on a l'égalité zn+4=zn x e^(-2iπ/3)
    En déduire que la distance MnMn+4 vaut √3, puis que le triangle MnMn+4Mn+8 est équilatéral.
    On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points Mn sont de la forme MnMn+4Mn+8.

    4.Douze cartons indiscernables au toucher, marqués Mo,M1,M2,...,M11, sont disposés dans une urne. On tire au hasard et simultanément trois cartons de l'urne.
    Calculer la probabilité d'aobtenir les 3 sommets d'un triangle équilatéral.

    Je bloque totalement, et toute aide meme petite serait la bienvenue.
    Merci d'avance.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Quelle est l'affixe de Mo ?



  • Mo a pour affixe e^(iπ/2)


  • Modérateurs

    Et Pour M1 ?

    puis
    pour Mn ?



  • M1 a pour affixe e^(8iπ/6) donc Mn a pour affixe e^(i(π/2 + n x 5π/6)

    ca marche =D merci



  • Pour la question suivante comment je démontre les propriétées ?
    Parce que je sais que c'est vrai grace au graphique, mais après e démontrer 😕


  • Modérateurs

    Question 3

    Compare les affixes.



  • Pour l'affixe de Mn j'ai e^(i(π/2 + n x 5π/6)
    et pour Mn+6 j'ai e^i(π/2 + (n+6) x 5π/6 )

    En développant j'obtient e^(11π/2 + n x 5π/6 )

    mais je ne vois pas comment en déduire la premiere propriété 😕


  • Modérateurs

    e^i(11π/2 + n x 5π/6 ) =
    e^i(5π ) x e^i(π/2 + n x 5π/6 )
    donc ...



  • en partant de Mn tu fais deux tours et demi du cercle et tu arrive a Mn+6, donc c'est diametralement opposé. ok j'ai compris du coup, j'ai aussi rréussi pour la deuxieme propriété. merci


 

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