Donner encadrement et limites d'une fonction avec racines carrées

Bonjour,

Voici l'énoncé qui me pose problème :

On donne la fonction f(x)=√x - √(x-5)
Df = [5;+∞]

Montrer que pour tout x ∈ Df,
f(x) = 5/(√(x) + √(x-5))

J'ai réussi à le démontrer en multipliant par la quantité conjuguée.

En déduire que pour tout x ∈ Df,
0≤f(x)≤5/√(x)

Là, je ne sais pas comment faire, j'ai montré que quand x=5, alors f(x)≥0 mais je n'arrive pas à montrer que f(x)≤5/√(x)
Dois-je utiliser les dérivées ?

En déduire la limite de f en +∞
(je me doute que c'est 0)

Bonjour,

Cherche un minorant du dénominateur

6 est-il un minorant du dénominateur ?

C'est √x, justifie.

Si x=6
Alors f(x)=5/((√6)+1)=(√6)-1≈1.45
et
5/√6=5√6/6≈2.04
on voit que f(6)<5/√6
mais je ne peux pas conclure que
f(x)≤5√x ?

Tu ne peux pas prendre une valeur pour x.
Compare (√(x) + √(x-5)) et √x

(√(x) + √(x-5)) ≥ √x
(√(x) + √(x-5)) - √x ≥0
√(x-5)≥0
Est ce cela ?

Juste :
(√(x) + √(x-5)) ≥ √x
donc
1/(√(x) + √(x-5)) ....

donc
1/(√(x) + √(x-5)) ≤ 1/√(x)
D'où
5/(√(x) + √(x-5)) ≤ 5/√(x)

Oui

Merci pour votre aide !