Résoudre une inéquation et trouver la limite d'une fonction

[Elow']

Bonjour,

J'ai un problème avec cet énoncé, le voici :

On donne f(x)= √(1-x) + x

1. Montrer que f(x)≤(1/2)x ⇔ 1-x≤(1/4)x²

Dois-je factoriser f(x) en multipliant par la quantité conjuguée, ou dois-je utiliser la 2ème expression ?

2. Résoudre dans ]-∞;0]
   (1/4)x²+x-1≥0

3. En déduire l'existence d'un réel a tel que
   si x≤a, alors f(x)≤(1/2)x

4. Trouver la limite de f en -∞

Merci d'avance pour votre aide.

[Noemi]

Bonjour,

Tu remplaces f(x) par son expression, tu simplifies l'inéquation, puis tu l'élèves au carré.

[Elow']

Cela me donnerait
√(1-x) + x - (1/2)x ≤ 0
√(1-x)+(1/2)x≤ 0

√(1-x) ≤ -(1/2)x
√(1-x)² ≤ -(1/2)x² ⇔ -(x-1)≤-(1/4)x²
⇔ x-1 ≤ (1/4) x²

[Noemi]

A partir de
√(1-x)+(1/2)x≤ 0

√(1-x) ≤ -(1/2)x
pour x < 0, 1 - x > 0 et -1/2 x > 0
on élève au carré
1 - x ≤ (1/4) x²

[Elow']

J'ai compris, merci beaucoup.