Etude d'une suite définie par une intégrale


  • C

    Bonjour à tous !
    Une fois de plus, je m'adresse à vous pour un exercice de maths assez compliqué concernant les suites et les integrales.
    Je viens à peine de commencer les integrales, et j'avoue que pour moi cet exercice est vraiment compliqué,
    Voici le sujet

    on considére le suite(In)n nєN définie par :
    ∫(1)^(0)(e^-t²)/(1+n+t) dt

    1.a)Déterminer le sens de variation de cette suite.
    b)Montrer que (In)nєN est une suite positive.
    c)Montrer que, pou tout tє[0;1 ], on a (e^-t²)/(1+t+n)≤ 1/(1+n) et en déduire que 0≤In≤1/(1+n)
    Que peut-on en conclure quant à la convergence de (In)n nєN ?

    Ce n'est que la premiere partie, je vous demande juste de m'indiquer la voie pour poursuivre!
    Merci d'avance ! 🙂


  • I

    Bonjour,

    Pour simplifier les explications je vais appeler fn(t) = (e^-t2) / 1+n+t)
    On a In = intégrale de fn(t) de 0 à 1

    Pour le 1.a)
    Compares fn(t) et fn+1 (t) pour t entre 0 et 1.
    Qu'en déduis-tu pour In comparée à In+1
    (propriété des intégrales : si f(x) < g(x) pour x entre a et b alors intégrale de f entre a et b < intégrale de g entre a et b)

    Pour le 1b)
    Idem : compares fn(t) et 0.
    Qu'en déduis-tu ? (intégrale de 0 entre 0 et 1 = 0 ! ).

    Pour le 1c) toujours le même principe

    Convergence de In ? :

    • Suite décroissante, minorée par 0 et majorée par une suite tendant vers 0 ... qu'en déduis-tu ?

    Iznogoud


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