Racines de polynômes

Bonsoir,

Voilà, mon professeur revient apres 1 mois d'absence et nous fait changer de chapitre et en donnant un dm sans cours.

Il y a certaines choses que je comprends pas du tout pourtant j'ai essayer.

1-Soit f une fontion polynôme de degrés suérieur à 2.
On suppose qu'il existe 2 réel distincts x $_1$ et x $_2$ tels que f(x $_1$ ) = f(x $_2$ ) = 0.

Démontrer qu'il existe alors une fonction polynome g telle que
f(x) = (x - x $_1$ ) (x - x $_2$ ) g(x).

La suite de l'exercie j'y suis arrivée.

Et aussi :

Soit f(x) = x^3 + ax + b.

1-En supposant que le polynome f ait 3 racines distinctes x $_1$ , x $_2$ , x $_3$ , montrer que
f(x) = (x - x $_1$ ) (x - x $_2$ ) (x - x $_3$ )

2- En deduire alors (par identification) que
x $_1$ + x $_2$ + x $_3$ = 0.

Merci beaucoup

Il est important de choisir un titre pertinent : ici, l'ancien était "JE SUIS COMPLETEMENT PERDUE", inepte. (N. d. Z.)

Jenny_69
Démontrer qu'il existe alors une fonction polynome g telle que f(x)= (x-x1)(x-x2)g(x).
Salut,
Il n'y a rien de particulier à dire là-dessus, c'est tout simplement un résutat de cours :
Si f(x1)=0 alors il existe un polynôme g de degré celui de f - 1 tel que :
f(x)=(x-x1).g(x)

C'est LA propriété de base des polynômes. Si elle n'est vraiment pas dans ton cours, tu la trouveras sans-doute dans ton livre.
A+

ok merci, je croyait que c'était autre chose.

Salut

en développant-réduisant $(x - x$ _1 $) (x - x$ _2 $x-x_3$ )
tu obtiendras un polynôme de degré 3, qui doit être égal à f(x).

or, le coefficient de x² est nul dans celui-ci.

et quel est le coefficient de x² dans le développement que tu as obtenu ?
c'est $x_1$ + $x_2$ + $x_3$ !

la conclusion en résulte.

Th
C'est LA propriété de base des polynômes.
Si elle n'est vraiment pas dans ton cours, tu la trouveras sans-doute dans ton livre.
Il semble que ceci ne soit plus vraiment dans les programmes... en tout cas, ça a disparu de plusieurs manuels (par ex. Indice, qui ne s'occupe que du Second degré). C'est parfois seulement en exercices que cette propriété est abordée ! C'est la même histoire pour les histoires de somme et produit des racines, souvent vues comme "exercices de prolongement". Tout comme la division des polynômes avait précédemment disparu par rapport aux manuels de 1996.

PS : Tu vois, Thierry, c'est dommage d'avoir une inclusion automatique de lien, ici.

Zauctore

Il semble que ceci ne soit plus vraiment dans les programmes...Oui c'est vrai (maintenant que tu le dis !)