exo bac complexe

Bonjour, voici un sujet de math sur les complexe que j'ai commencé à faire, mais je bloque sur une question ....
Voici l'énoncé :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O, u, v) (unité graphique : 2 cm).
On rappelle que pour tout vecteur w non nul, d’affixe z, on a : |z| = norme du vecetur w et arg(z)= (u, w) à 2Pi près.

Partie A. Restitution organisée de connaissances
Bon, ça pas de problèmes c'est quasiment que du cours....

Partie B
On note A et B les points d’affixes respectives −i et 3i.
On note f l’application qui, à tout point M du plan, d’affixe z, distinct de A, associe
le point M' d’affixe z' telle que :
z' = (iz +3) / (z +i)

Étude de quelques cas particuliers.
a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au
cercle de diamètre [AB].
Placer ces points sur le dessin.
b. On note C le point d’affixe c = −2+i. Démontrer que le point C', image
de C par f, appartient à l’axe des abscisses.

Pour cette question aussi pas de problème

Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que
arg(z')= (vecteur MA, vecteur MB) + Pi/2 à 2Pi près.

Par contre là je ne sais pas du tout commencer si vous pouviez m'aider sur cette question... merci d'avance

Étude de deux ensembles de points.
a. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z' soit un nombre
complexe imaginaire pur.
b. Soit M d’affixe z un point du cercle de diamètre [AB] privé des points A
et B. À quel ensemble appartient le point M' ?

Merci d'avance pour votre aide

Bonjour,

Exprime z' en fonction des affixes de A, B et M et recherche l'argument.