Calcul intégral, intégration par parties

Bonjour a tous, j'ai un devoir maison a faire pour dans 4 jours, voici l'énoncé:

Pour tout entier n de N*, on considère l'intégrale In= ∫$$^e$_1$ $lnx)^n$ dx.

a. Démontrrer que pour tout x dans l'intervalle ]1 ; e] et pour tout n entier naturel, on a :
(ln x)n - (ln x)n+1 > 0

b. En déduire le sens de variation de la suite (In)

c. Démontrer que pour tout n de N*, In≥0
Que peut-on en déduire pour la suite (In) ?

a. Calculer I1

b. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout n appartenant N* :
In+1 = e - (n+1)In

c. En déduire les valeurs exactes de $I_2$ et de $I_3$

a. Démontrer que pour tout n de N*, (n+1)In≤e

b. En déduire la limite de la suite (In)

c. Déterminer la valeur de nIn+ (In $I_{n+1}$ ) , en Déduire la limite de la suite (nIn)

Merci d'avance !

Je comprend pas du tout le sujet ...

Bonsoir,

Le but de l'exercice est de trouver la limite de la suite (In) et de la suite (nIn)

Pour démarrer,

1)a) Factorise

$\text{(lnx)^n-(lnx)^{n+1}= (lnx)^n(1-lnx)$

Sur [1,e] , lnx > 0 donc $lnx)^n$ > 0

Sur [1,e] , lnx < 1 donc 1-lnx > 0

Au final , sur [1,e] , le produit $\text{(lnx)^n(1-lnx)$ est strictement supérieur à 0

1)b)

Conséquence :

Sur [1,e] , $\text{(lnx)^n > (lnx)^{n+1}$

Donc :

$\text{\bigint_1^e(lnx)^n dx > \bigint_1^e(lnx)^{n+1}dx$

Donc ....

Essaie de pousuivre.

donc la suite (In) est décroissante ?

Oui !

D'accord,

mais pour démontrer que In ≥ 0, je dois faire comment ?

Car aucune utilité d'utiliser, In ≥ In+1 ?

je sais que la fonction lnx ≥ 0 donc In≥0

Le sens de variation n'a rien à voir avec le signe de In

Tu peux regarder ton cours sur le signe d'une intégrale.

1 < e

Sur [1,e] : lnx ≥ 0 donc $lnx)^n$ ≥ 0

Tu peux déduire que In ≥ 0

donc la suite (In) sera positive ?!

Oui,

La suite (In) est à termes positifs .

Pour la question 2)b. j'ai utiliser une integration par parties:

$I_{n+1}$ =∫$$^e$_1$ $lnx)^{n+1}$ dx

On pose u'(x)=1 et v(x)= $lnx)^{n+1}$
. u(x)= x et v'(x) = (n+1) * $lnx)^n$ * (1/x)

$I_{n+1}$ = [u(x) $v (x)]$ ^e $_1$ - ∫$$^e$_1$ u(x) v'(x) dx
= [x $(l n x)$ ^{n+1} $]$ ^e $_1$ - ∫$$^e$_1$ x * (n+1) * $lnx)^n$ * (1/x) dx
= $e(lne)^{n+1}$ - $ln1)^{n+1}$ ) - ?

Je bloque a la primitive, et je ne trouve pas $I_{n+1}$ = e-(n+1)In

Ton calcul est bon.

Il te manque des simplifications pour aboutir

$\text{i_{n+1}=[x(lnx)^{n+1})_1^e-\bigint_1^e x(n+1)\frac{1}{x}(lnx)^ndx$

$\text{i_{n+1}=[x(lnx)^{n+1})_1^e-(n+1)\bigint_1^e (lnx)^ndx$

$\text{i_{n+1}=[x(lnx)^{n+1})_1^e-(n+1)i_n$

Tu termines le calcul ( sans oublier que lne=1 donc que $lne)^{n+1}$ =1 ), et tu trouveras l'expression souhaitée.

et (ln1) = 0 !

Oui c'est bien sa !

Merci beaucoup