Intégrale et étude de suite

Bonjour à tous !
Je bloque sur un exercice et j'ai donc besoin d'un petit coup de main !
Voici l'énoncé :

La suite (Un) est définie sur N par :
$U_n$ =∫ $x^n$ ln(x+1) dx
1- Déterminer le sens de variation de la suite (Un)
La suite (Un) converge t'elle ?
2- Démontrer que pour tout entier n non nul :
0 < Un< ln(2)/(n+1)
En déduire la limite de la suite (Un)

Et voici ce que j'arrive à faire :

1- n < n+1
$x^n$ < $x^{n+1}$
$x^n$ ln(x+1) < $x^{n+1}$ ln(x+1)
∫ $x^n$ ln(x+1)dx < ∫ $x^{n+1}$ ln(x+1)dx
$U_n$ < $U_{n+1}$
Donc (Un) est une suite croissante . Mais je n'arrive pas à prouver qu'elle converge ...
2- Je refais la même démonstration qu'avant en ajoutant le 0 et j'obtiens :
0 < $U_n$ < ∫ $x^{n+1}$ ln(x+1)dx
Mais je n'arrive pas à prouver que ∫ $x^{n+1}$ ln(x+1)dx = ln(2)/(n+1)
Comment dois-je faire ?
Je sais que pour trouver la limite il me suffit juste d'appliquer le théorème des gendarmes et on trouve que (Un) converge en 0

J'espère que vous pourrez m'aider et vous remercie d'avance !
Cordialement

Meide

Bonjour,

Bizarre...N'as-tu pas les bornes de l'intégrale ?

J'invente...

Pour le cas où les bornes seraient 0 et 1 :

$\text{u_n=\bigint_0^1x^nln(x+1)dx$

0 ≤x≤1

En multipliant par $x^n$ ( qui est positif) , tu obtiens :

0 ≤ $x^{n+1}$ ≤ x $^n$

Sur [0, 1] , ln(x+1) est positif donc :

$\text{0 \le x^{n+1}ln(x+1) \le x^{n}ln(x+1)$

$\text{\bigint_0^1 0 dx \le \bigint_0^1x^{n+1}ln(x+1)dx \le \bigint_0^1x^{n}ln(x+1)dx$

Je te laisse tirer les conclusions utiles.

Les bornes de l'intégrale sont bien 1 et 0
J'avais déjà réussis ce que tu as écrit, c'est justement la suite qui me pose problème ...
Comment est ce que je sais que la suite converge ?
Et comment je trouve l'intégrale de ∫ $x^{n+1}$ ln(x+1) dx ?

Tu dois trouver $\text{0 \le u{n+1} \le u_n$

La suite (Un) est décroissante et minorée par 0 donc ..........

Pour la 2) :

$\text{x^nln(x+1) \le x^nln2$

Tu en déduis l'inégalité entre les intégrales .

J'ai compris, je reprend !

1- 0<x<1
0< $x^{n+1}$ < $x^n$
0< $x^{n+1}$ ln(x+1) < $x^n$ ln(x+1)
∫0 dx < ∫ $x^{n+1}$ ln(x+1)dx < ∫ $x^n$ ln(x+1) dx
0< $U_{n+1}$ < $U_n$

Donc la suite (Un) est décroissante et minorée par 0 donc elle converge .

2- $x^n$ ln(x+1) < $x^n$ ln2
0 < ∫ $x^n$ ln(x+1) dx < ∫ $x^n$ ln2 dx
0 < Un < ∫ $x^n$ ln2 dx
Et je fais comment ensuite ?

Merci pour ton aide en tous cas !

Tu calcules $\text{\bigint_0^1x^nln2dx$

Cette intégrale vaudra $\text{\frac{ln2}{n+1}$

D'accord

∫ $x^n$ ln2dx = $x^{^n+1}$ )/(n+1) x (ln2 x) ]= ln2/(n+1)

Merci de ton aide, j'ai pu finir mon exercice

Je comprends mal ton calcul intégral

Il semble y avoir un "x" de trop.

$\text{\bigint_0^1x^n ln2 dx=ln2\bigint_0^1x^n dx=ln2[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1$