Ex de maths première S produit scalaire

Bonjour, j'ai un exercice de maths à faire et je n'y arrive pas du tout.
"On se place dans un repère orthonormé du plan.
Soit(d) une droite d'équation ax+by+c=0 et soit A(xA;yA) un point du plan. Enfin soit H(xH;yH) le projeté orthogonal de A sur (d).
La distance du point A à la droite (d) est la distance la plus courte de A à un point de (d), il s'agit donc de la distance AH.
1)Justifier que le vecteur n(a;b) est colinéaire au vecteur AH
2)En déduire que |n.AH|=||n||*||AH||
3)Justifier que n.AH=axA+byA+c.En déduire que ||AH||=(|axA+byA+c|)/(sqrt(a²+b²))
4)Applications :
a)On considère A(1;2) B(-3:-4) et C(6;1). Déterminer une équation de la droite (AB), et la distance du point C à la droite (AB). En déduire l'aire du triangle ABC
b)Soit (d) la droite d'équation 2x+4y-5=0 et le point D(-4:1). Calculer la distance du point D à la droite (d). En déduire une équation cartésienne du cercle D tangent à la droite (d)"

Merci de votre aide

Bonsoir,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Je bloque dès la première question

Bonjour,

Vu que tu bloques dès la première question , je te démarre ton exercice.

Tout d'abord , fais un schéma pour mieux comprendre les notations.

Tu dois savoir ( voir cours ) qu'en repère orthonormé , une droite (d) d'équation ax+by+c=0 admet le vecteur $\text{\vec{n}$ de coordonnées (a,b) pour vecteur normal

Vu la construction , le vecteur $\text{\vec{ah}$ est aussi un vecteur normal à (d) , donc $\text{\vec{n}$ et $\text{\vec{ah}$ sont colinéaires.

$\text{\vec{n}.\vec{ah} = ||\vec{n}||\times ||\vec{ah}||\times cos(\vec{n}.\vec{ah})$

$\text{cos(\vec{n}.\vec{ah})=\pm 1$ ( vu la colinéarité des vecteurs , qui peuvent être de même sens ou de sens contraire , suivant la position du point A )

$\text{\vec{n}.\vec{ah} =\pm 1 ||\vec{n}||\times ||\vec{ah}||$

Il te reste à prendre la valeur absolue de chaque membre pour obtenir l'égalirté demandée.

Essaie de poursuivre.

Merci pour ta réponse.
Pour la question3), j'arrive à dire que ||n||=√(a²+b²)
Mais pour prouver que n.AH=AXa+BYa+c, je n'y arrive pas.
J'ai cependant réussi à déduire la deuxième partie de la question.

$\text{\vec{n}$ a pour coordonnées (a,b)

$\text{\vec{ah}$ a pour coordonnées $\text{(x_h-x_a, y_h-y_a)$

La valeur du produit scalaire est donc :

$\text{\vec{n}.\vec{ah} = a(x_h-x_a)+b(y_h-y_a)$

Tu sais que H est sur (d) donc : $\text{ax_h+by_h+c=0$

Avec ces éléments , tu dois pouvoir trouver la formule souhaitée.

Voilà où j'arrive :
n.AH=a(xH-xA)+b(yH-yA)
=axH-axA+byH-byA
=axH+byH-axA-byA

De plus H∈(d) donc axH+byH+c=0

donc axH+byH-axA-byA=0=n.AH pour c=-(axA+byA)
donc axA+byA-axH-byH=0=n.AH

DONC axA+byA+c=0=n.AH pour c=-(axH-byH)

Est ce que la rédaction est correcte?

Merci pour ta réponse qui m'a bien débloqué.

A peu près.

Tu peux écrire $\text{h \in (d) donc ax_h+by_h+c=0 donc ax_h+b_h=-c$

Il te suffit ensuite de remplacer dans l'expression du produit scalaire.

Une remarque : il semble y avoir une confusion dans l'énoncé , mais ça ne change rien à la valeur absolue.
$\text{\vec{n}.\vec{ah}=-ax_a-bx_b-c$
$\text{\vec{n}.\vec{ha}=ax_a+bx_b+c$

Merci
Pour les questions d'application je trouve ça :
4)a) équation de droite :
y=ax+b (affine)

a=(Yb-Ya)/(Xb-Xa)
donc a=3/2

donc avec A(1;2)
2=3/2*1+b
donc b=1/2

Donc
-3/2x+y-1/2=0est l'équation de la droite.

Par analogie des questions de préparation

vecteur n a pour coordonnées (-3/2;1) et est colinéaire à vecteur CH
donc CH=(|-3/26+11-1/2|)/sqrt((-3/2)²+1²)
donc CH=
17sqrt(13)/13

Calcul de l'aire :
AB=2sqrt(13) (je calcul avec les coordonnées de A et de B)
DONC
Aire de ABC= BA*HC/2=17

4)b)DH=(|2*(-4)+4*1-5|)/sqrt(2²+4²)=9sqrt(5)/10

Equation du cercle :
D(-4;1) est est le centre du cercle et R=DH=9sqrt(5)/10 est le rayon.
Donc le cercle de centre D(-4;1) et de rayon R=9sqrt(5)/10 a pour équation (x+4)²+(y-1)²=(9sqrt(5)/10)²⇔
(x+4)²+(y-1)²=4.05

Est ce que les calcul et les raisonnements sont justes??

Merci encore pour tes réponses

Je n'ai regardé que le début du 4)a) , mais ta réponse à l'équation de la droite me semble bizarre.

mtschoon
Je n'ai regardé que le début du 4)a) , mais ta réponse à l'équation de la droite me semble bizarre.
Pourtant elle correspond très bien pour retrouver les coordonnées des deux points de la droite.
Si tu as un peu de temps, pourrais tu regarder l'autre question et la fin de celle là, ce serait parfais, je serais au moins sûr de mes réponses.

Merci beaucoup

OK pour ta droite . j'avais lu B(-3,4) au lieu de B(-3,-4) .

Pour les autres questions , je n'ai pas regardé tes calculs mais ta démarche est exacte.

Merci beaucoup pour ton aide et pour tes réponses plutot rapides.
J'ai posté cet exercice sur l'île des maths, je n'ai eu aucune réponse.
Encore merci