Prouver qu'une suite est géométrique, étudier ses variations et sa limite

Bonjour a tous !!

Voilà , moi qui suis pas très forte en suite , notamment a cause de la rapidité du prof , J'ai voulu faire un exos d'entrainement....Seul souci , J'ai vraiment mais vraiment du mal a y parvenir...J'ai bien noter quelques résultats mais bon....
J'aimerais avoir la correction de cet exos si possible pour pouvoir comprendre les erreurs eventuelle que j'aie pu faire et recommencer un autre exos du même type pour voir si j'arrive a m'en sortir.....

Voici L'énoncé :

(Un) est la suite définie par $U_0$ = 1 et Un+1 = (1/2)Un + (1/4) et (Vn) est définie pour tout naturel n par Vn = Un - (1/2).

Conjecturez graphiquement le comportement de la suite (Un).
Prouvez que la suite (Vn) est géométrique.
Exprimez Vn, puis Un, en fonction de n ( c'est ici que j'ai le + de souci...)
Etudiez les variations de (Vn), puis déduisez-en celles de (Un )
a) Quelle est la limite de (Vn) ?
b) Déduisez-en celle de (Un)

J'ai un controle a la rentrée et j'ai vraiment envie de le réussir.... Merci a ceux qui m'aideront pour la correction de cettes exos , Vraiment merci...

Bonsoir,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
Qu'as tu conjecturé pour la suite (Un) ?

J'ai conjecturé que la suite été convergente vers 0.5...Est-ce bon ??

Et pour la 2èeme, j'ai trouvé qu'elle été géométrique de raison 1/2 , est-ce bon aussi ??

Je bloque pour la suivante....

S'il vous plait...?
j'ai trouvé ça pour la suivante

si Vn+1=Vn/2 Vn=V0/2^n=1/2^(n+1)

Je ne sais pas comment faire pour Un en fonction de n et j'ai vraiment besoin d'aide pour les suivantes....

Bonjour,
Tu as Vn en fonction de n.
Mais tu sais que Un = Vn + 1/2 : remplace.

Ah d'accord !! C'est pas si dur en faite^^

donc sa fait Un = 1/2^(n) ?? ou 1/2^(n+1) ?

MissLinoa
Ah d'accord !! C'est pas si dur en faite^^

donc sa fait Un = 1/2^(n) ?? ou 1/2^(n+1) ?

Un = 1/2^(n) + 1/2 ?? ou 1/2^(n+1) + 1/2 ?

MissLinoa
Ah d'accord !! C'est pas si dur en faite^^

donc sa fait Un = 1/2^(n) ?? ou 1/2^(n+1) ?

Un = 1/2^(n) + 1/2 ?? ou 1/2^(n+1) + 1/2

C'est Vn = (1/2)^(n+1)
Donc Un = (1/2)^(n+1) + 1/2

Oui ^^ logique^^
désolé je suis un peu déboussolé^^

Pour la 4. , comment fait-on pour étudier la variations ?? ( on ne l'a pas fait pour les suites... )

Merci encore pour votre aide^^

Il s'agit simplement de savoir si la suite est croissante, décroissante, constante, ou rien de tout cela.
Pour la suite (Vn), qui est géométrique, tu peux calculer $V$ {n+1} $V_n$ = 1/2 qui est positif et plus petit que 1. Donc $V</em>{n+1}$ < $V_n$ : la suite est décroissante.

D'accord ^^ Merci ^^
Du coup , (Un) l'est aussi puisque l'on ajoute 1/2 a Vn ??

5)a) Pour la limite , il faut faire la limite a ±∞ ??

(Un) est également décroissante.
Pour les limites, c'est l'entier naturel n qui tend vers l'infini ( +∞ ).
Que devient Vn = (1/2)^(n+1) quand n devient infini ?

$0^+$ ?? Puisque sa fait 1 / +∞, C'est sa ??^^

Oui, la limite de Vn lorsque n tend vers l'infini est 0.
Et celle de Un ?

Un = 0 - (1/2) = (-1/2) ??

Non :
Pour commencer n'écris pas Un = .... = -1/2 : ça voudrait dire que tous les éléments de la suite valent -1/2 !!
Ensuite, tu fais l'opération à l'envers : Vn = Un - 1/2 donc Un = Vn + 1/2
La limite de Un est donc celle de Vn augmentée de 1/2.
C'est-à-dire 1/2 : c'est bien ce que tu avais conjecturé ? Avec les formules données au début, on voit bien que la limite de Un ne pouvait être négative.

Ah mais oui d'accord !!! sa correspond !!! Merci beaucoup !!! Grâce a vous , je saurais refaire ^^ ( je l'espère ) !!

Merci infiniment d'avoir pris de votre temps pour m'aider !! Vraiment Merci !! ^^

Ah mais oui d'accord !!! sa correspond !!! Merci beaucoup !!! Grâce a vous , je saurais refaire ^^ ( je l'espère ) !!

Merci infiniment d'avoir pris de votre temps pour m'aider !! Vraiment Merci !! ^^

De rien voyons.
Il ne te reste plus qu'à rédiger et à faire attention aux notations et ... à l'orthographe.

Oui ^^ ! Merci encore