cercle inscrit dans un triangle ; repérage

Voilà j'ai un exo pour mon DM mais je n'y arrive pas du tout ! Voilà l'énoncé :

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O,I,J).
On considère les points A(6;0) et B(0;6).
Démontrer que le point K(6-3√2;6-3√2) est le centre du cercle inscrit dans le triangle OAB

Merci pour votre aide !

Bonjour,
Le centre du cercle inscrit est équidistant des 3 côtés du triangle.
Ici, le triangle OAB est rectangle et isocèle, il est donc normal que K soit situé sur la première bissectrice des axes.
Soit M le milieu de [AB] : calcule les coordonnées de M, puis la distance KM ( plus facile de la laisser au carré ).

d'accord, je vois pour faire ça, et je vous dis si j'ai réussi !

Oui, mais indique tes réponses si tu veux qu'on puisse t'aider.

je dois utiliser les vecteurs pour calculer les distances ?

et les coordonés

Au choix.
Commence par donner les coordonnées de M, milieu de [AB] : tu sais calculer les coordonnées du milieu de deux points.

ah ouii Merci

donc déjà : M( 3;3)

C'est ça.
Tu connais les coordonnées de M, celles de K, tu as une formule ( vue en troisième je crois ) pour calculer KM². A toi.

pour KM par rapport au coordonnées données dans l'énoncé :
vecteur KM ((-3+3√2) (-3+3√2))
Ce qui fait que KM²=(-3+3√2)²+(-3+3√2)²
= 54-36√2
Km= 6-3√2

C'est ça ?

parce que sinon je ne vois pas de quelle formule vous parlez

KM² = 54 - 36√2 : oui,
Mais explique comment tu passes de KM² à KM.

KM= √(54-36√2) = 6-3√2

Certes, tu sais prendre "directement" la racine carrée de 54 - 36√2 ? ou bien as-tu procédé autrement ?

non je prend directement la racine carrée de 54 - 36√2

Sans vouloir t'offenser, j'ai quelques doutes.
Par exemple, sais-tu prendre la racine carrée de 27-10√2 ?

Je reviens dans quelques instants.

oui biensur, √27-10√2 = 5-√2
C'est facile on apprend ça en 4eme peut etre !

je ne vois pas par quel autre procédé passer sinon

Je reviens ce soir.
Pouvez vous m'indiquer la suite s'il vous plait

Bon, mais beaucoup d'élèves de seconde ne savent pas faire cela.
Le plus simple est de vérifier en élevant 6 -3√2 au carré, et en s'assurant que 6-3√2 est bien positif.
Reprenons : à cause des symétries de la figure, M n'est pas seulement le milieu de [AB], c'est aussi le projeté orthogonal de K sur la droite (AB) :
6 - 3√2 est donc la distance de K au côté [AB].
Quelles sont les distances de K à [OA] , et à [OB] ?
Bien sûr, tu dois justifier tes réponses.
Si tu trouves que ces 3 distances sont égales, tu pourras conclure que K est bien le centre du cercle inscrit dans le triangle OAB.

Donc 6-3√2 est aussi la distance de K a OA et OB vu que c'est un cercle inscrit ! on en conclu que K est bien le centre c'est sa ?

j'ai compris, je fais le meme principe pour OA et OB, je trouve la meme chose donc K est bien le centre
Mercii beaucoup pour votre aide !

ah.. est il normal que si L milieu de OA et N milieu de OB
que KL = KN mais sont différent de KM !

Bonsoir poupeii-chiffon

Tu dois avoir KN = KL = KM

désolé d'être aussi embêtante mais enfait il manque encore un bout

mais je trouve pas ça

Indique tes calculs pour KM.

KM²=(-3+3√2)²+(-3+3√2)²
= 54-36√2
Km= 6-3√2

C'est correct.
Et pour KN et KL, tu as trouvé .....

Citation
Donc 6-3√2 est aussi la distance de K a OA et OB vu que c'est un cercle inscrit ! on en conclu que K est bien le centre c'est sa ?Non!
C'est une faute de raisonnement.

Si KL=KN=KM alors K est bien le centre du cercle inscrit.
Mais tu dois calculer séparément KM, KL, et KN.
Pour KM, c'est fait. Pour KL et KN, utilise les coordonnées de K ( et celles de L et de M ).

d'accord donc les coordonnées de L(3;0) vu que je prend le milieu de OA et N(0;3) vu que c'est le milieu de OB. donc je fait le vecteur KL [3-(6-3√2) et 0-(6-3√2)] ce qui fait KL²= 81-54√2 KL=3√6-3√3
Pareil pour KN

Non : il y a maldonne. L ne doit pas être le milieu de [OA] mais le projeté orthogonal de K sur la droite (OA). Pareil pour N.
Je joins une figure dès que possible.

Donc L(6-3√2;0) et N(0;6-3√2)

Oui.
Maintenant tu peux calculer KL et KN.

d'accord donc si le résultat est le Meme pour les 3 j'en conclu que K est bien le centre !
Mercii beaucoup ! Je reposte si j'ai un problème

$fichier math$
Voilà la figure avec beaucoup de difficultés : ça mouline et c'est très lent pour accéder aux messages ; toi aussi ?

oui moi pareil !

J'ai oublié d'indiquer L et N sur la figure : ils se trouvent aux "pieds" des pointillés.