Etudier la croissance de suites


  • L

    Bonjour, j'accroche sur un exercice du style Vrai/Faux , J'ai comme énoncé:

    Citation
    la suite Un est positive et Vn = Un / (1+Un)

    Si (Un) décroit alors (Vn) décroit

    Cela me semble vrai mais je n'arrive pas à le démontrer.
    J'ai essayé:

    Un ≥ Un+1U_{n+1}Un+1 ⇔ Un +1 ≥ Un+1U_{n+1}Un+1 +1 ⇔ 1 / (Un +1) ≤ 1 / (Un+1(U_{n+1}(Un+1 +1) mais ensuite je bloque...


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    Multiplie ton inégalité par Un puis écris l'inégalité avec Un+1U_{n+1}Un+1/


  • L

    Merci
    Du coup j'ai bien ça :
    UnU_nUn / (Un(U_n(Un +1) ≤ UnU_nUn / (Un+1(U_{n+1}(Un+1 +1)

    Mais j'arrive pas a voir comment je peux arrivé a écrire l'inégalité avec Un+1U_{n+1}Un+1?


  • S

    Bonsoir

    Montrer que (Vn) décroît, c'est montrer que VVV{n+1}−Vn-V_nVn≤0
    D'autre part tu as montré grâce aux hypothèse que 1/(Un1/(U_n1/(Un+1)≤1/(U</em>n+11/(U</em>{n+1}1/(U</em>n+1+1)
    Le truc c'est de penser que Vn peut aussi s'écrire comme cela VVVn=(1+U=(1+U=(1+Un−1)/(1+Un-1)/(1+U_n1)/(1+Un).
    Tu obtiens donc une écriture de Vn avec 1/(1+Un). Tu n'as plus qu'à dérouler les calculs après en faisant pareil pour Vn+1 puis en simplifiant Vn+1-Vn puis en utilisant le résultat vu ici 1/(Un1/(U_n1/(Un+1)≤1/(U</em>n+11/(U</em>{n+1}1/(U</em>n+1+1)
    pour finalement montrer l'inégalité VVV
    {n+1}−Vn-V_nVn≤0


  • L

    Bonjour,

    j'arrive bien a ressortir 1/(<em>Un+11/(<em>{Un+1}1/(<em>Un+1+1) - 1/(Un+1)
    dans V</em>n+1V</em>{n+1}V</em>n+1-Vn mais impossible de simplifier ce qui reste...


  • N
    Modérateurs

    A partir de : VVV_n=(1+U=(1+U=(1+Un−1)/(1+Un-1)/(1+U_n1)/(1+Un).
    = 1 - 1/(1+Un1/(1+U_n1/(1+Un)
    Comme
    1 / (Un(U_n(Un +1) ≤ 1 / (U</em>n+1(U</em>{n+1}(U</em>n+1 +1)
    −1/(Un-1/(U_n1/(Un+1) ......
    1- 1/(Un1/(U_n1/(Un+1) ......
    Donc
    ....


  • L

    Merci beaucoup, je reprend mes cours de maths abandonnés il y a 6 ans...
    Je devrais vite revenir sur le Forum ^^


  • L

    Bonjour, Toujour avec le même énoncé :

    la suite Un est positive et Vn = Un / (1+Un)
    Une autre question me demande:

    si VnV_nVn Converge alors UnU_nUn Converge?

    Une suite converge ⇔ lim⁡n→+∞vn=l\lim_{n \rightarrow {+} \infty}vn = llimn+vn=l

    l étant un Réel
    Et je serai tenté de dire que pour que la limite d'un quotient soit égal à un réel la limite du dénominateur doit être égal à un réel...
    Mais ça me paraît rapide...


  • mtschoon

    Bonjour,

    Piste,

    Calcule Un en fonction de Vn ( produit en croix , transposition, ...)

    Ensuite , discute suivant l.


  • L

    J'ai beau essayer je n'arrive pas à exprimer Un en fonction de Vn 😞


  • mtschoon

    Produits en croix :

    $\text{v_n(1+u_n)=u_n$

    En développant :

    $\text{v_n+u_nv_n=u_n$

    En transposant :

    $\text{u_n-u_nv_n=v_n$

    En factorisant :

    $\text{u_n(1-v_n)=v_n$

    Je te laisse continuer.


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