Etudier la croissance de suites

[Laurent40118]

Bonjour, j'accroche sur un exercice du style Vrai/Faux , J'ai comme énoncé:

Citation
la suite Un est positive et Vn = Un / (1+Un)

Si (Un) décroit alors (Vn) décroit

Cela me semble vrai mais je n'arrive pas à le démontrer.
J'ai essayé:

Un ≥ $U_{n+1}$ ⇔ Un +1 ≥ $U_{n+1}$ +1 ⇔ 1 / (Un +1) ≤ 1 / $(U_{n+1}$ +1) mais ensuite je bloque...

[Noemi]

Bonjour,

Multiplie ton inégalité par Un puis écris l'inégalité avec $U_{n+1}$/

[Laurent40118]

Merci
Du coup j'ai bien ça :
$U_n$ / $(U_n$ +1) ≤ $U_n$ / $(U_{n+1}$ +1)

Mais j'arrive pas a voir comment je peux arrivé a écrire l'inégalité avec $U_{n+1}$?

[sarah_maths]

Bonsoir

Montrer que (Vn) décroît, c'est montrer que $V${n+1}$-V_n$≤0
D'autre part tu as montré grâce aux hypothèse que $1/(U_n$+1)≤$1/(U</em>n+1$+1)
Le truc c'est de penser que Vn peut aussi s'écrire comme cela $V$n$=(1+U$n$-1)/(1+U_n$).
Tu obtiens donc une écriture de Vn avec 1/(1+Un). Tu n'as plus qu'à dérouler les calculs après en faisant pareil pour Vn+1 puis en simplifiant Vn+1-Vn puis en utilisant le résultat vu ici $1/(U_n$+1)≤$1/(U</em>n+1$+1)
pour finalement montrer l'inégalité $V${n+1}$-V_n$≤0

[Laurent40118]

Bonjour,

j'arrive bien a ressortir $1/(<em>Un+1$+1) - 1/(Un+1)
dans $V</em>n+1$-Vn mais impossible de simplifier ce qui reste...

[Noemi]

A partir de : $V$_n$=(1+U$n$-1)/(1+U_n$).
= 1 - $1/(1+U_n$)
Comme
1 / $(U_n$ +1) ≤ 1 / $(U</em>n+1$ +1)
$-1/(U_n$+1) ......
1- $1/(U_n$+1) ......
Donc
....

[Laurent40118]

Merci beaucoup, je reprend mes cours de maths abandonnés il y a 6 ans...
Je devrais vite revenir sur le Forum ^^

[Laurent40118]

Bonjour, Toujour avec le même énoncé :

la suite Un est positive et Vn = Un / (1+Un)
Une autre question me demande:

si $V_n$ Converge alors $U_n$ Converge?

Une suite converge ⇔ ${\lim }_{n\to +\infty }vn=l$

l étant un Réel
Et je serai tenté de dire que pour que la limite d'un quotient soit égal à un réel la limite du dénominateur doit être égal à un réel...
Mais ça me paraît rapide...

[mtschoon]

Bonjour,

Piste,

Calcule Un en fonction de Vn ( produit en croix , transposition, ...)

Ensuite , discute suivant l.

[Laurent40118]

J'ai beau essayer je n'arrive pas à exprimer Un en fonction de Vn

[mtschoon]

Produits en croix :

$\text{v_n(1+u_n)=u_n$

En développant :

$\text{v_n+u_nv_n=u_n$

En transposant :

$\text{u_n-u_nv_n=v_n$

En factorisant :

$\text{u_n(1-v_n)=v_n$

Je te laisse continuer.