Montrer l'alignement de points par la méthode analytique/ vectorielle / géométrique

Construire un triangle ABC puis les points M, N, et P tel que :
$→^\rightarrow$ AM = 1/2 $→^\rightarrow$ AC ; $→^\rightarrow$ AN = 1/3 $→^\rightarrow$ AB ; $→^\rightarrow$ BP = 2 $→^\rightarrow$ BC
Solution analytique dans le repère (A, B, C)
a. Déterminer les coordonnées de M, N, et P
b. Démontrer que M, N et P sont alignés.
Solution vectorielle (sans repère)
a. Décomposer $→^\rightarrow$ MN sur les vecteurs $→^\rightarrow$ AB et $→^\rightarrow$ AC
b.Décomposer $→^\rightarrow$ MP sur les vecteurs $→^\rightarrow$ AC, $→^\rightarrow$ AB et $→^\rightarrow$ BC
En déduire une décomposition de $→^\rightarrow$ MP sur les vecteurs $→^\rightarrow$ AB et $→^\rightarrow$ AC seulement.
c. Montrer que M, N et P sont alignés.
Solution géométrique
La parallèle à (MN) passant par C coupe [AB] en un point I
a. Démontrer que N est milieu de [AI]
b. En déduire que I est le milieu de [NB]
c. Démontrer alors que la droite (CI) est parallèle à la droite (PN). Conclure

Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Sans coordonnés et repère comment dire s'ils sont alignés ?

Pour la question 1, tu as le repère (A,B,C)
Donc A(0;0), B(1;0) ...

Pour la question 2, décompose le vecteur
vect MN = vect MA + vect AN = ....

Je ne comprends pas la question 1.

vect MN = vect MA + vect AN = MN ?

Pour la question 1, détermine les coordonnées des points.
Comme A(0;0) et C(0;1), M(0;1/2)
N ?
P ?

comme A (0;0) et B(1;0) N(1/3;0) ?
comme B (1;0) C(0;1) P(-1;2) ?

C'est correct.

Merci,& pour montrer qu'ils sont alignés il suffit de faire les vecteurs colinéaires ?

Oui,

montre que les vecteurs MN et MP sont colinéaires.

MN (1/3;-0.5) MP(-2;1.5)
Donc : 1.51/3 = 0.5 et -0.5-2 = 1
Mais là ils ne sont pas colinéaires..

L'erreur est sur le point P les coordonnées sont bien (-1; 2).

donc : -1*-0.5 = 0.5
1/3*1.5 = 0.5
Donc les vecteurs sont colinéaires donc les points sont alignés

C'est correct.

Remplace MA et AN par leur expression.

C'est à dire ?

AM = 1/2 AC ; AN = 1/3AB

Donc, MN = 1/2 AC + 1/3 AB ?

Une erreur de signe
MN = -1/2 AC + 1/3 AB
car

MA = -AM

& donc pour MP ?

Tu appliques le même raisonnement pour le vecteur MP.

MP = 1/2 AC + ..... ?

vect MP = vect MA + vect AB + vect BP
= ....

MP = -1/2 AC + AB + 2BC ?

C'est correct.

Donc MP = -1/2AC + AB ?

Tu as oublié 2 BC

Mais comment faire si ce n'est que sur AB et AC ?

vect BC = vect BA + vect AC

Donc, MP = -1/2AC + AB + 2(BA + AC)

Développe et simplifie.

MP = -1/2AC + AB + 2BC ?

MP = -1/2AC + AB + 2(BA + AC)
= -1/2AC + AB - 2AB + 2 AC
= ....

1.5AC - AB ?

C'est juste.

c. On a déjà répondu à cette question non dans une autre question avant ?

Pas pour la question 2,

Compare les vecteurs MN et MP.

MN > MP ?

Cherche le réel k tel que vect MN = k vect MP.