Trouver la racine carrée d'un nombre complexe

[med.10001]

bonjours
je ne parvient pas a touver un racine carré de 4+8isin(alfa)exp(i*alfa)
merci

[Noemi]

Bonjour,

c'est la seule question de l'exercice ?

[Parallepipede]

je note Z ton nombre $mathbbC$
donc
Z= 4-8sin(a) + i 8sin(a)cos(a)

alors appartien a $mathbbR$ si a=0≡$pi$/2
mais dans ce cas sin(a)=0 , sin(a)=1 ou sin(a)=-1
0 et -1 sava (Z appartien a $mathbbR$ +)

donc il faut exclure a = $pi$/2+ 2K$pi$ k appartien a $mathbbZ$

1. si a different de $pi$/2 mod 2$pi$ :
   soit L la determination principal du log sur $mathbbC$$mathbbR$-
   d'ou

(4+8isin(a)exp(ia))^1/2= exp(1/2L(4+8isin(a)exp(ia))
= exp(1/2 [ln( |4+8isin(a)exp(ia)|)+ i arg(4+8isin(a)exp(ia)) ])
= exp(1/2 ( ln ( $sqrt$ (4-8sin(a))²+(8sin(a)cos(a))²)).exp(1/2iarg(truk)

donc en notant N²:= (4-8sin(a))²+(8sin(a)cos(a))² (la norme au carré de ton nombre complexe)
A:= 2iarctan (8sin(a)cos(a))/[(4-8sin(a))+N]
la racine de ce nombre est (tudoum)
√N+ exp(A/2) =√(√(4-8sin(a))²+(8sin(a)cos(a))²))exp(iarctan (8sin(a)cos(a))/[(4-8sin(a))+√(4-8sin(a))²+(8sin(a)cos(a))²)])

N peut se simplifier avec des petite formules trigo (donc A aussi )

si a=PI/2mod ZPi
alors Z=-4 et sa racine est + ou - 2i ^^