Etudier le sens de variation et la limite d'une suite et montrer qu'elle est bornée

[davedu43]

Bonjour donc voila j'ai un dm a faire et je ne comprend pas, quekqu'un pourrais t'il m'aider s'il vous plait:
Voici l'énnoncé

1. Soit f la fonction définie sur I=(1;+∞( par f(x)=1/x - 1/x-1. On admet que f est stricetement décroissante sur I.
   Déterminer la limite de f en +∞.
2. soit (Un)n≥1 (en indice) la suite définie sur N* par Un= 1/n - 1/n+1
   a. Quel est le sens de variation de la suite (Un)n>1 (en indice)? Justifier.
   b.vDéterminer la limite de la suite (Un) n>1 (en indice) . Justifier
   c. Démontrer que la suite (Un)n>1 (en indice est bornée.
3. Soit (Sn) n>1 (en indice) définie sur N* par Sn= u1+u2+u3+...+un
   a. Démontrer que le suite (Sn)n>1 (en indice) est strictement croissante
   b. Calculer u1+u2+u3
   c. Démontrer que, pour tout n ∈ N*, Sn= n/n+1
   d. Montrer que S99 (99 en indice) =1/12+1/23...+1/99*100
   e. Déterminer la limete de la suite (Sn)n>1 (n>1 en indice)

[Parallepipede]

bien 1/x tend vers 0 ... en l infini donc 1/x-1/x-1 .. aussi

si cela ne te plait pas tu met sur le meem denominateur : f(x)=-1/(x-1)x

2. puisque U(n) =-f(n+1) donc
   f str decroissante => u(n) str croissante

b) bien si f(x) tend vers 0
f(n) aussi ( en + l infini of course)
donc lim( U(n) ) = 0

C) une suite de limite fini est forcement borné .
si une suite tend vers 0 alors ses termes(quand N est ""grand"") sont proche de 0 et avant qu'il soit grand , il n'y en a qu'un nopmbre fini . donc elle est forcement borné .
si tu a vue les quantificateur tu ecrit sa avec c'est assez simple
.

[Weierstrass]

juste par rapport à la question 2 , tu mets Un au même dénominateur donc Un = 1/n(n+1) => Un+1 / Un = n/n+2 avec ca je te laisse prouver que Un est décroissante en montrant que le quotient est < à 1
3a) Montrons que Sn est croissante , on a Sn+1 - Sn = un+1 = 1/n+1 - 1/n+2 = 1/ (n+1)(n+2) >0 , que peux tu en déduire ?
3b) c'est du calcul
3c)d'apres la question précédente tu peux remarquer qqchose sur la suite Sn , u1+u2+u3+...+un = (1 - 1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+....+(1/n-1/n+1)
que peux tu en déduire?
3e) Sn = 1- 1/n+1 -quel est sa limite en + l'infini?

[davedu43]

je cherche depuis hier mais je n'arrive pas a prouver que Un est décroissant
enfaite j'ai pas bien compri non plus le reste de l'exercice?
pour la 3 a =, 3b, 3c, et 3 e

[Noemi]

Bonsoir davedu43;

Pour la question 3, suis les indications de Weierstrass.

[davedu43]

Qui est ce?

[Noemi]

Regarde sa réponse qui est après celle de Parallepipede.

[davedu43]

oui mais il me demande d'en déduire des choses que je ne sais pas

[Noemi]

Quelle partie tu ne comprends pas ?

a) Calcule $U_{n+1}$ - $U_n$

[davedu43]

On ne connait pas U(n+1)-Un ?
Comment on peut faire?

[Noemi]

Calcule le.

puis tu calcules $S_{n+1}$ - $S_n$